EXEMPLE DE FONCTIONS 
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La pente de la surface étant supposée bien continue, nous devons 
en premier lieu, d'apres le principe de Fermât, annuler la somme 
p* + ^2 ; ce vu sa valeur (19), ne se peut qu’en posant soit s = 0, 
soits^>oj mais, alors, p-H - <r - =^o. L hypothèse & — o donne évidem 
ment des minima de l’ordonnée essentiellement positive z, pourvu 
que celle-ci ne reste pas nulle indéfiniment tout autour, mais qu elle 
augmente au sortir de régions limitées en tous sens. Quant à 1 hypo 
thèse multiple z > o, p 2 + a 2 = o, elle rend l’expression (19) de rt — s 2 
égale à — ¿(a 2 p + A® cr), c’est-à-dire négative pourvu que A } p et A,t 
ne soient pas nuis; et, d’après la condition (10) [p. 170], il ne se pro 
duit alors ni maximum ni minimum de z. 
Reste à examiner la supposition tout exceptionnelle, dont nous avons 
fait abstraction dans la théorie générale, où cette double hypothèse 
->o, p*-4- a 2 = o donnerait rt — s 2 = o, par suite de l’annulation si 
multanée de Aj p et de A t (7; ce qui entraînerait celle de toutes les déri 
vées tant secondes que troisièmes de o, et des cinq dérivées premières 
et secondes p, q, r, s, t de 5, soit en un seul point, soit sur une cer 
taine étendue, définie par la région de contact de la surface z — \A 2 (s 
avec son plan tangent horizontal correspondant. A des distances infi 
niment petites tout autour de cette région de contact, l’ordonnée z se 
mettant à varier, la pente y//> 2 H- <7 2 de surface et, par suite, d’après 
la première (19), la somme p 2 -t- a 2 cesseraient d’être nulles, ainsi que 
les deux paramètres égaux A t p, A x a, qui mesurent la rapidité des 
changements respectifs de p, a dans les sens normaux aux courbes 
p mconst., a = const. Et, d’ailleurs, p, a, tout au plus comparables aux 
produits des valeurs actuelles déjà accrues, A t p, An a, de leurs rapi 
dités de variation, par les distances infiniment petites parcourues 
depuis la sortie de la région de contact, ne pourraient manquer d’être 
d’un ordre de petitesse supérieur à celui de Ajp ou Ajo-; en sorte que 
p 2 +- a 2 et, à plus forte raison, (p 2 -1- a- 2 ) 2 seraient négligeables en com 
paraison de A 2 p-j-A 2 (i, ou de z{ A 2 p -h A 2 a). Par suite, tout autour 
soit du point, soit de la région où p, a, A x p, Aja, p, q, r, s, t s’annu 
leraient, la différence rt — s 2 cesserait, d’après la seconde formule 
(19), d’être nulle, pour y devenir essentiellement négative. 
Or il suit delà, comme on va voir, que la surface z — \k\o ne 
pourrait pas se relever tout autour de sa région de contact avec son 
plan tangent horizontal, ou s’y abaisser tout autour, et que, par con 
séquent, l’ensemble des ordonnées z correspondant à cette région ne 
serait pas entouré d’autres ordonnées toutes plus grandes ou toutes 
plus petites, bref, ne constituerait ni un minimum, ni un maximum. 
Si, en effet, la surface se relevait ou s’abaissait tout autour de la