COURS 
D’ANALYSE INFINITÉSIMALE 
CALCUL DIFFÉRENTIEL. 
PARTIE COMPLÉMENTAIRE. 
COMPLÉMENT À LA DEUXIÈME LEÇON. 
CALCUL DE LA DÉRIVÉE D’UNE SÉRIE. 
13*. — Suite : dérivée d’une série. 
Quand une fonction S de x, supposée, bien entendu, graduellement 
variable, est définie, au moins entre certaines limites, par une série 
convergente u 0 -+- u 1 -h « 2 + . . ., et que, pour une suite continue de 
valeurs de x comprises entre ces limites, les dérivées des divers 
termes de la série forment une nouvelle série convergente, celle-ci y 
égale la dérivée de la première S. 
Pour démontrer cette proposition, observons que, si R„ désigne un 
terme complémentaire tendant vers zéro lorsque n grandit de plus en 
plus, on a 
S - Uq —f— U\ —f- 11% -1- . . . -+- Ilfi —t— R/j, 
et R„, différence de deux fonctions, S d’une part, u 0 -h u x ,. . -+- u„ 
d’autre part, pourvues par hypothèse d’une dérivée, en a également 
une ou est, comme ces deux fonctions, graduellement variable avec x. 
Or le fait de la décroissance indéfinie de R w exige que sa dérivée 
R' t , ou bien ne tende vers aucune limite pour n grandissant, ou bien 
tende vers zéro. En effet, si R' 4 tendait, dans un très petit intervalle 
B. — I. Partie complémentaire. i