DANS LES FAMILLES DK COURBES A ÉQUATION BIEN CONTINUE. i65* 
ces derniers, les variations de b(d?, y) seront, ou à la fois pareilles 
(si n est pair) ou à la fois contraires (si n est impair) à ce qu’elles 
sont dans les premiers, leurs opposés respectifs. Or il suit de là que, 
sur les droites comme EF, le nombre des points de la courbe voisins 
de AB est ou impair ou pair, en même temps que celui des points de 
la courbe voisins de AC. En d’autres termes, si, partant du point A, 
on compte toutes les branches de la courbe qui en émanent langen- 
tiellement aux deux directions opposées AB, AG, on en trouvera tou 
jours, ou des nombres impairs des deux côtés, ou des nombres pairs 
des deux côtés; ce qui, au total, fera invariablement un nombre pair, 
chaque branche comptant, bien entendu, pour autant, que l’indique 
le degré de multiplicité de la racine correspondante y de l’équation 
F(ar, y) — c, où la variable x est donnée. D’ailleurs, le long d’une 
branche multiple, la surface z — F {x, y) a deux tangentes, l’une 
suivant cette ligne, l’autre suivant EF, parallèles au plan des xy, 
et la pente \Jp- -H q 1 y est nulle; une pareille branche constitue 
donc toujours une ligne singulière, ou vérifiant les deux équations 
p — o, q — o; et il suffit, pour que la courbe F (x, y) — c n’en ad 
mette pas, que ces deux équations soient satisfaites seulement en des 
points séparés. 
Ainsi, dans les courbes dont V équation F (x, y) — c a pour pre 
mier membre une fonction bien déterminée, finie et continue avec 
ses dérivées partielles successives, et où il n’arrive pas que toutes 
ces dérivées jusqu’à l’infini s’annulent à la fois, ni les deux du 
premier ordre tout le long d’une ligne, les branches distinctes de 
courbe qui émanent d’un point singulier tangentiellement à une 
même droite, soit dans un sens, soit dans le sens opposé, sont tou 
jours en nombre total pair, comme à partir d’un point non sin 
gulier, et peuvent, par conséquent, s’associer deux ci deux, ou bout 
à bout, ou avec rebroussement, de manière à faire de la courbe 
un tout sans commencement ni fin. 
Il n’arrivera donc jamais, dans de telles courbes, que la tangente 
éprouve une brusque déviation différente d un rebroussement, comme