DANS LES COURBES ALGEBRIQUES. 
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rivée q en/; de sorte que ces deux polynômes F — c et q seront, 
pour toutes les valeurs considérées de x, divisibles par Je facteur 
{y — /i)(/ — 7-2) ••• {y—Jri), ou auront un plus grand commun di 
viseur fonction de y. Or, si l'on forme à la manière ordinaire ce plus 
grand commun diviseur, en divisant F — c par <7, puis q par le 
reste, etc., les restes successifs sont des polynômes en y ayant pour 
coefficients des fractions rationnelles en x, et l’un d’eux, le plus grand 
commun diviseur, du degré n au moins puisqu’il comprend le facteur 
(y— fi){y — 7a) • • • (7 —/«)> est le dernier pour toutes les valeurs 
considérées de x. C’est dire que le reste suivant aura, comme coeffi 
cients de ses divers termes en y, des fractions rationnelles de x dont 
les polynômes numérateurs s'annuleront identiquement, incapables 
qu’ils seraient, autrement, de s’annuler pour plus de valeurs de x 
qu’il n’y a d’unités dans leur degré, alors qu’ils le font, par hypo 
thèse, d une manière continue sur une étendue finie. Donc F (*,y) — c 
se trouvera exactement divisible par l'expression rationnelle, de la 
forme 
?(#, 7) 
/(») 
constituant Je reste précédent ou le plus grand com- 
mun diviseur. 
Dans cette expression, f{x) désigne le plus simple dénominateur 
commun auquel on ait pu réduire les coefficients des termes en y dans 
le plus grand commun diviseur trouvé; de sorte qu'il n’y a aucun di 
viseur en x commun à f{x) et à tous les coefficients des puissances de 
y dans o{x, y). Les restes, constants ou linéaires, des divisions de ces 
coefficients par l’un quelconque des facteurs irréductibles du premier 
ou du second degré en x entrant dans /(¿c), ne sont donc tous pas 
nuis. Or ces restes, multipliés par les puissances de y affectant les 
coefficients en question, puis ajoutés, donnent évidemment le reste 
total de la division de o(x, y) par le facteur irréductible considéré 
de f{x), car la somme ainsi obtenue est une expression dont le degré 
en x, respectivement nul ou égal à 1, n’atteint pas celui du diviseur 
ou facteur employé; et comme cette expression différé de zéro dans 
certains au moins de ses termes, le polynôme /{&) est premier avec 
?y) considéré comme fonction de x. 
Cela posé, F (x, y) — c considéré comme fonction de y, et ordonné 
suivant les puissances décroissantes de y, étant divisible par 
ordonné de la même manière, il est clair que le quotient de leur 
sera de même une expression rationnelle de la forme 
où désignera pareillement un polynôme premier avec 
division 
W g »7)