EXEMPLES DE POINTS SINGULIERS DANS LES COURBES ALGÉBRIQUES : 
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d/{x, y). Et l’on 
aura F{x, y) — c = 
b{x, y)o{x, y) 
J\{X)f{x) 
• Or celle rela- 
tion montre que le produit ty{x, l)i en tant d 11 ® fonction de 
x, est exactement divisible par f\{oc)f{x)‘, et un théorème connu, 
sur la décomposition des polynômes en facteurs, apprend alors que 
/O), premier avec cp{oc, y), doit diviser exactement <\>{x, y), c’est- 
à-dire chacun de ses coefficients totaux des diverses puissances de j, 
et que, de même,/^^), premier avec ty{x, y), doit diviser <?{x,y). 
En appelant 1 F(oc, y), <F{x, y) les polynômes quotients de <h{x, y) 
par /O) et de cp {oc, y) par f 1 {oc), on aura donc identiquement 
F {oc, y) — c = W{x, y) <t>{x, y). Autrement dit, la courbe algébrique 
considérée F{x, y) — c — o, quand elle a une ligne singulière, se 
compose de deux courbes algébriques, ‘b {oc, y) ~ o, ri{x, y) — o, 
faisant partie des familles de degrés moindres <P{x, y) = const., 
X F {x, y) — const. 
On dédoublerait de même ces courbes en d’autres, et ainsi de 
suite, jusqu’à ce qu’on n’eût enfin, comme composant la proposée, 
que des courbes algébriques dépourvues de lignes singulières. Si deux 
de ces courbes plus simples, <P{x, y) = o et ri{x, y) = o par exemple, 
possédaient, sans être identiques, quelque arc commun, on prouve 
rait de même, par la considération d’un diviseur commun à <P{x,y) 
et à W{x, y), qu’elles seraient encore décomposables en courbes plus 
simples; et, finalement, on répartirait tous les rameaux de la courbe 
proposée entre des courbes algébriques irréductibles où chacun ne 
figurerait qu’une fois. Alors, à partir d’un même point et suivant une 
même tangente, on ne compterait dans Tune quelconque des courbes 
et, par suite, dans leur ensemble, que des nombres pairs de branches. 
Le théorème démontré vers la fin du numéro précédent s’applique 
donc à tous les cas d’une courbe algébrique, même en y regardant 
comme simples les lignes singulières. 
Ainsi, les branches d’une courbe algébrique ri admettent jamais 
aucune autre espèce de discontinuité que des rebroussements; et 
une telle courbe ne comporte ni points anguleux, ni points d’arrêt. 
122*. — Exemples de points singuliers dans des courbes algébriques. 
Passons à des exemples, et cherchons d’abord les points singuliers 
d’une famille de lemniscates (ou ovales de Cassini). On appelle ainsi 
les courbes MN, M'N', M"N", M'A'", etc., formées, les unes, de deux 
ovales séparés M, N, les autres, d’un seul orbe ou contour, qui ont 
leurs points, M '{x, y) par exemple, à des distances, de deux foyers