FAMILLE DES LEMMSCATES ET SECONDE PARABOLE CUBIQUE. 169* 
F, F', dont le produit FM'xF'M' soit constant pour une même 
courbe. Appelons c le carré de ce produit, carré qui sera un paramètre 
variable de zéro à l’infini, a la demi-distance des foyers, et adoptons 
pour axe des x la droite de jonction de ceux-ci, pour axe des y 
Fig. 22. 
l’autre axe de symétrie des courbes, perpendiculaire sur le milieu 
de FF'. Les carrés des deux rayons vecteurs FM', F'M' ayant évi 
demment pour expressions (x± a) 2 -hy 2 ou {x* -f- y--\-a 2 )±iax, 
l’équation (FM') 2 (F'M') 2 = c de la famille de courbes sera 
(9) ( x- -+- y 2 -+- a 2 ) 2 —!\a~x 2 —c. 
Son premier membre est une fonction F (x, y) bien déterminée, finie et 
continue de x et de y, ainsi que ses dérivées des deux jiremiers ordres 
(p = 4x(x*-hy*—a 2 ), q = 4_y(^ 2 -f-y--h a 2 ), 
(10) i 
( r — 4(3# 2 -i-y' 2 — a 2 ), s — 8 xy, t — 4(ît 2 -+- 3y- -f-a-). 
On peut donc appliquer la théorie exposée ci-dessus (p. i56*), et 
poser, en premier lieu, les deux équations p — o, q—o. Orlase- 
conde revient à y — o et la première, alors réduite à x{x~— a 2 ) = o, 
donne sur l’axe des ¿r les trois points x = o, x — zya, c’est-à-dire 
l’origine O et les deux foyers F, F'. Ce sont donc les seuls du plan qui 
puissent être singuliers. Et comme la différence rt — 5 2 , exprimée par 
i6(3a? 2 —a 2 ) (x 2 -t- a 2 ) quand y = o, est positive pour x' 2 = a 2 , néga 
tive pour x — o, les foyers F, F' seront des points isolés et, l’origine 
0, un point double, où la courbe aura les pentes y' = ± 1 d'après 
l'équation /•-h 2sy' ty n — o. Et, en effet, les deux points F, F' sont 
ce à quoi se réduit la lemniscate quand c — o, cas où il faut que l’un 
ou 1 autre des rayons vecteurs s’annule comme leur produit \Jc. 
Quant au point O, appartenant évidemment à la lemniscate (orch- 
dmaire ou proprement dite) pour laquelle c — (OF) 2 (Ob') 2 =