1-0* POINTS ANGULEUX ET POINTS D’ARRET QU’lNTRODUIT
il est celui où se réunissent les deux orbes à l’instant où, le produit
des deux rayons vecteurs grandissant, la courbe cesse de se composer
de deux ovales distincts.
Pour avoir un exemple, le plus simple possible, de rebroussement,
considérons en second lieu la famille F{x, y) — c de courbes obtenue
en prenant pour F {ce, y) le binôme ay 2 — x 3 , où a désigne une
longueur positive donnée. Il viendra
(ii) p= — 3a? 2 , q — zay, r= — 6x, 5 = 0, t = ia.
Fis. 2З.
Ainsi p et q ne s’annulent que pour x — o, y — o, c = o, c’est-à-dire
à l’origine des coordonnées et dans la courbe MOM', appelée seconde
parabole cubique, dont l’équation est ay 2 = x 3 ( 1 ). La différence
correspondante ri — s 2 se trouvant nulle, il y a lieu de voir, d’après
la théorie générale (p. 161*), si, dans la di
rection unique / = 0 définie par l’équation
r 2 s y' -h ty'- ■=. o, la dérivée troisième de
F (x, y) diffère de zéro. Or la direction en ques
tion se confond avec Ox ; en sorte que la dérivée
troisième à prendre est celle de r par rapport kx,
ayant pour valeur — 6. Donc l’origine est un
point de rebroussement de première espèce. En
effet, la seconde parabole cubique, évidemment
dépourvue d’ordonnées du côté des x négatifs et
symétrique, du côté des abscisses positives, par rapport à l’axe des,#,
s’éloigne de cet axe au-dessus et au-dessous, pour les valeurs posi-
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lives de x, proportionnellement à x 2 , en présentant la pente, d’abord
nulle mais puis indéfiniment grandissante, qu’exprime de même propor
tionnellement la dérivée de x 2 , variable comme x 2 . Les deux bran
ches OM, OM' partent donc du point O tangentiellement à l’axe des
x, en s’opposant mutuellement leurs convexités, et il se produit bien,
en ce point, un rebroussement de première espèce.
123*. Exemples de points anguleux et de points d’arrêt, dans des
courbes transcendantes limites de courbes algébriques.
Arrivons maintenant à des exemples de points anguleux et de points
( ! ) On réserve le nom de première parabole cubique à la courbe où c’est l’or
donnée même y, et non son cai’ré y 2 , qui est en raison directe du cube х г de
1 abscisse. Et l’on appelle, en général, parabole de degré m, toute courbe où l’or
donnée est proportionnelle à la puissance /n ième de l’abscisse.
