2 * DÉRIVÉE D’UNE SÉRIE : 
comprenant la valeur considérée x, vers d autres limites que zeio, ces 
limites seraient déjà presque atteintes en donnant à n une \aleur 
assez grande, et tous les accroissements ultérieurs possibles de n n’in 
flueraient pour ainsi dire plus sur R^. Cela posé, on pourrait prendre 
l’intervalle dont il s’agit assez petit pour que, dans le cas de cette pre 
mière valeur déjà très grande de /z, la fonction, de grandeur notable par 
hypothèse et graduellement variable, S'— ( u' 0 -f- u\ H- . .. -+- ufi = R'„, 
y eût presque la même valeur d’un bout à 1 autre; et alors cette valeur 
constante continuerait à y être celle de R'„, c’est-à-dire, sensiblement, 
celle du rapport de deux accroissements simultanés de R„ et de x, 
même quand n deviendrait incomparablement plus grand et R„ incom 
parablement plus voisin de zéro qu’ils n’étaient d’abord. Or il est évi 
demment impossible d’admettre que, dans l’intervalle déterminé en 
question, R rt varie, toujours suivant le même sens, avec une pareille 
rapidité notable, à moins qu’il ne puisse s’y écarter de zéro d’une ma 
nière sensible; ce qui n’est pas. Ainsi, il faut ou que R) 2 tende vers la 
limite zéro quand n grandit, ou que R' w ne s’approche indéfiniment 
d’aucune limite. La somme m' 0 + u\ H- . . . -t- u' n , égale identiquement 
à S'—R',, tend vers S' dans le premier cas et ne converge pas dans 
le second. Donc, toutes les fois que La série u' 0 -h u\ -h u r 2 -h . . . est 
convergente dans une étendue finie, elle y exprime bien la dérivée 
de la série proposée S = u 0 -+- u x H- u 2 -+- 
Dans le cas contraire (c’est-à-dire quand la série u' 0 uj -+- u' 2 -f-. . . 
ne convergera pas), une étude spéciale du reste R w sera nécessaire pour 
obtenir la dérivée de la fonction S. Ce cas où, lorsque n grandit, la 
fonction Pi„ tend vers zéro, mais en finissant par varier tellement vite 
avec x que sa dérivée n’y tend pas, se présente très souvent pour 
les valeurs extrêmes de x, c’est-à-dire pour les limites en dehors des 
quelles la série S diverge : car la valeur absolue de R„, très petite 
encore à ces limites, est sensible au delà, et y croît nécessairement 
d’une manière rapide. Mais il peut aussi se produire pour toutes les 
valeurs de x, quand les termes très éloignés et fort petits, comme 
u n , de la série, sont des fonctions de x qui varient par courtes oscil 
lations, ou dont les changements consistent en accroissements et dé 
croissements alternatifs se succédant de plus en plus vite à mesure 
que l’indice n augmente. Alors le terme complémentaire R /2 , pour 
neutraliser ces inégalités imperceptibles qui n’existent pas dans la 
fonction S, mais qui tiennent au genre de décomposition ou de déve 
loppement auquel on la soumet, présente des inégalités analogues de 
signe contraire ; et si, n grandissant, ces inégalités finissent par de-