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PROPRIÉTÉS DK LA LIGNE TANGENTE 
procheraient incomparablement plus qu’ailleurs de leurs voisines. 
Pour le voirj considérons, sur ce lieu PQ, les deux points M, M' 
qui correspondent à deux valeurs très 
^ • 2 i- voisines c, c -+ Ac du paramètre, ou qui 
appartiennent, dans la famille donnée, aux 
deux courbes MA, A'M' avant pour équa 
tions 
F(¿r, y, c) = o et ¥(x, y, c-h Ac) = o. 
L’arc MM' sera généralement comparable a Ac; car une succession de 
pareils arcs, qui donnerait en tout sur PQ un chemin fini, correspon 
drait à une succession d’accroissements Ac en même nombre consti 
tuant aussi un changement fini de c. Or, d’après la formule (3o), où 
s’annulera ici la dérivée de F en c, l’écart MA' des deux courbes sera 
de l’ordre de £ Ac ou incomparablement plus petit que MM'. Donc le 
triangle MA'M', formé par la droite MA' et par les deux très petites 
cordes M'A', M'M de la courbe A'M' de la famille et de la ligne PQ, a 
son côté MA' dans un rapport infiniment faible à un autre MM', et la 
proportion des sinus y donne l’angle opposé M' infiniment petit. C’est 
dire que, si M se rapproche de M', les deux cordes M'M, M'A' 
tendront vers la même tangente, ou que la courbe quelconque M'A' 
de la famille touche, en M', le lieu PQ des points de plus grand rap 
prochement. 
Ainsi, L’enveloppe d’une famille de lignes et, généralement, le 
lieu des points où ces lignes se rapprochent infiniment plus qu'ail 
leurs de leurs voisines, est une courbe qui les touche toutes. 
Réciproquement, une courbe, PQ, successivement tangente, en 
ses divers points M, M', . . ., ci toutes celles, MA', A'M', . .. d’une 
même famille, constitue une région du plan où ces dernières, si 
elles n’y coupent pas leurs voisines, en sont du moins infiniment 
plus rapprochées qu’en leurs autres points. Car l’écart mutuel MA' 
de deux consécutives s’y trouvera (vu le contact supposé, en M', de PQ 
avec A'M') incomparablement plus petit que l’arc MM' de PQ inter 
cepté entre elles, tandis que leur écart partout ailleurs serait, en gé 
néral, de l’ordre de MM', à cause de ce fait que deux courbes espa 
cées de quantités finies viennent toucher PQ en deux points distants 
aussi de quantités finies, et que ces espaces finis, soit entre les courbes, 
soit sur PQ, se subdivisent en un même nombre très grand de parties 
très petites, ou restent comparables, quand on intercale de pins en 
plus de courbes entre deux autres. 
Il suit de là que les tangentes à une courbe ont cette courbe même