cas d’une série entière.
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venir aussi courtes que petites, les rapports, de très faibles ac
croissements simultanés, donnés à R„ et à x, peuvent garder à
peu près les mêmes valeurs absolues moyennes, quand on y fait dé
croître à la fois et AR„ pendant que n augmente. Donc la dérivée
A R,
R'j, sensiblement égale ne tend pas, pour n grandissant, vers
zéro, ni, comme on vient de voir, vers aucune limite déterminée fonc
tion de x. Et il en est évidemment de même de la somme
Uq —(— U\ -... i u n — S R/îj
alors impropre, par conséquent, à exprimer la dérivée de la série pro
posée S = «o H- «t -+- -H • • • •
Soit, comme exemple de la règle ci-dessus, une série ordonnée sui
vant les puissances de x à exposants entiers et positifs, ou de la forme
( 5 ) S .— Aq —t- A i x -4- A2 x-+- A3373 _ _)_ A„ x 11 -i- A ?i +j -4- ..,
dans laquelle le rapport -^ +1 de deux coefficients successifs est sup
posé tendre en valeur absolue, quand n grandit, vers une limite déter
minée X. Cette série converge pour les valeurs absolues de x moindres
que ~ et diverge pour les valeurs absolues de x supérieures à - , vu
X X
que le rapport d’un terme au précédent y tend vers la limite ± Xx,
comprise entre o et ±1 dans le premier cas, supérieure à l’unité (en
valeur absolue) dans le second. Quant aux valeurs extrêmes x=± -,
X
elles peuvent rendre la série convergente ou divergente, suivant que
le rapport -V 1 x de deux termes consécutifs y est en valeur absolue
plus ou moins inférieur à l’unité et suivant la succession des signes
des termes.
Cela posé, en prenant la dérivée des divers termes du second membre
de (5), on obtient la nouvelle série
( 6 ) Ai -4— iA-^x + 3 A3 x® -t— ... -f- n\ n x n ~^- -f- ( n -4- 1) A/j-i-i x n -4-...,
dans laquelle le rapport, n - — ■- ^ 7-1 x, d’un terme au précédent, égale
ce qu’il était dans la série proposée, multiplié par le facteur — -~ l ~ 1 ou
augmenté de sa /i ième partie. Donc les termes décroissent moins vile
dans la série dérivée, qui pourra, par suite, devenir divergente à l’une
