DÉLIMITE LE CHAMP QU’ELLES OCCUPENT SUR LE PLAN.
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Et les intersections successives précédant M, ou celles qui suivront
M" 7 , jusqu’à des distances sensibles, se maintiendront, à plus forte
raison, du même côté de la courbe A"B"; car elles seront prises sur
des segments de courbes situés de ce côté et s’éloignant même de plus
en plus au-dessus les uns des autres. Donc une ligne continue menée
par les intersections successives, .. ., M, M', M", M'", ... laissera toute
la courbe A"B" (jusqu’à des distances notables) sur un seul de ses côtés,
sauf un arc très petit entre M et M w ; et, si bon conçoit que, la courbe
A 77 B" restant fixe, ses voisines soient prises de plus en plus rapprochées
et de plus en plus nombreuses, de manière que la ligne MM'M" . . .
des intersections tende vers l'enveloppe sa limite avec annulation finale
de l’arc MM", la courbe A" B" sera, dans tout le voisinage de son point
de contact avec l’enveloppe, d’un même côté de celle-ci, où se trouveront
évidemment aussi les courbes voisines A'B', A"B w , etc. Donc, quand
les lignes de la famille se coupent, leur enveloppe ne fait que les toucher.
En résumé, le lieu des points d’infini rapprochement des lignes
successives de la famille touche ces lignes en les croisant lorsqu’elles
ne s’y coupent pas elles-mêmes, et les touche sans les croiser lors
qu’elles s’y coupent.
Ce dernier cas, où le lieu en question constitue une limite d’inter
sections successives, est de beaucoup le plus commun; car, dans les
conditions de continuité habituelles, il suppose, entre la ligne repré
sentée par l'ensemble des deux équations (28) et les courbes de la
famille, un contact d'ordre impair, c’est-à-dire du premier ordre seu
lement; tandis que le cas contraire, impliquant le croisement des
courbes de la famille par cette ligne, suppose un contact d’un ordre
pair au moins égal à 2, d’une réalisation bien plus difficile et bien
plus rare.
Ainsi, ordinairement, la ligne dont l’équation s’obtient en élimi
nant c entre les deux relations (28) laisse sur un seul de ses côtés
toutes les courbes de la famille, censées du moins réduites aux parties
avoisinant leurs points de contact avec elle. E J ar conséquent, cette
ligne entoure ou limite les régions du plan qui les contiennent. Voilà
justement pourquoi on l’appelle alors l’enveloppe de la famille; et les
diverses courbes F(.r, y, c) — o sont dites ses enveloppées.
liO*. — Exemples.
Un exemple très simple de courbe enveloppe est fourni par la fa
mille de cercles de rayon constant, avant leurs centres sur l’axe des
abscisses, que nous avons étudiée au n° 78 (p. 127), et dont l’équation