j86* ex. de lignes tangentes a une fam. de courbes. 
différentielle exprime l’égalité de leurs normales au rayon. Leur équa 
tion étant, en coordonnées rectangles, (x — cf + j 2 — R 2 = o, la 
seconde relation (28) se formera en annulant la dérivée par rapport 
à c, — 2{x — c), de son premier membre F(#, y, c), qui est bien en 
x, y, c une fonction continue et a dérivées continues. Sur chaque 
cercle, les points communs avec le cercle suivant auront donc l’ab 
scisse même x — c du centre, comme le montre de suite la construc 
tion de ces cercles; et la valeur c — x qui en résulte pour c, substituée 
dans l’équation de la famille, donnera celle de l’enveloppe, j 2 ~ R 2 — 0 
ou y = ±R. Ainsi, cette enveloppe se compose des deux parallèles à 
l’axe des x tangentes à tous les cercles, et entre lesquelles ils sont 
bien contenus. La normale à ces droites, menée jusqu’à la rencontre 
de l’axe des x, est, comme il le fallait, égale à R; et, par conséquent, 
elles constituent une solution tout autre que les cercles, ou singu 
lière, de l’équation différentielle de la famille. 
Un exemple, non moins simple, d’une famille de courbes sans en 
veloppe, mais admettant un lieu de points d’infini rapprochement 
entre courbes voisines, est donné par les premières paraboles cu 
biques y — a{x —- c) 3 , qui croisent l’axe des abscisses en leur centre 
et point d’inflexion x = c, en ayant avec cet axe y — o (vu l’annula 
tion, pour x = c, de y, y' et y") un contact du second ordre. La 
fonction F {x, y, c) étant ici y—■ a{x — c) 3 , la seconde équation (28) 
se réduit à 3 a{x — c) 2 -- o et donne c = x; d’où résulte y—o : autre 
ment dit, le centre de symétrie x — c de chaque ¡aarabole est son 
point le plus rapproché, infiniment rapproché même, des paraboles 
voisines, et l’axe des abscisses y = o est le lieu de ces points de plus 
grand rapprochement. L’équation différentielle de la famille, à la 
quelle conduit l’élimination de c entre y — a(x — c) 3 ety'=3 a(x — c) 2 , 
est y' 3 = 2jay 2 ; et la ligne obtenue y = ola vérifie bien. Elle en 
constitue la solution singulière; car elle ne se confond avec aucune 
des paraboles y — a(x — c) 3 , où a diffère de zéro. 
141*. — Enveloppes intérieures, limitant, dans le champ couvert par une 
famille de courbes, les régions qui en sont plus ou moins sillonnées. 
11 arrive souvent que, dans la partie du plan occupée par la famille 
donnée F (¿c, y, c) — o, le nombre des courbes se croisant en chaque 
point {x, y) n’est pas le même partout, et alors il y a lieu de divi 
ser le champ qu’occupe la famille en deux ou plusieurs régions 
distinctes, dont chacune soit, en tous ses points, sillonnée par un 
même nombre de courbes. Or il est aisé de voir que les lignes sépa-