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ENVELOPPE EXTERIEURE ET ENVELOPPES INTÉRIEURES. 187* 
ratlves de ces diverses régions sont en général des lieux d’intersec 
tion de courbes infiniment voisines et constituent, par conséquent, 
tout autant de branches de la ligne représentée par les équations (28), 
au même titre que la limite même (lorsqu’elle existe) du champ en 
tier de la famille : ce sont comme des enveloppes intérieures, dont 
cette dernière limite, enveloppe extérieure, ne se distingue qu’en ce 
que le nombre des courbes se croisant en un même point y tombe à 
zéro au lieu simplement d’y changer. 
Pour le reconnaître, attribuant à x une valeur quelconque donnée, 
faisons, dans l’équation, varier y de — 00 à -h 00, ou déplaçons-nous 
sur le plan le long d’une parallèle à l’axe des y, et supposons qu’on 
note, en chaque point {x, y) ainsi atteint, le nombre des valeurs de c, 
c’est-à-dire des courbes de la famille qui s’y croisent. En vue de fixer 
les idées, assimilons la variable y à une abscisse, sa fonction c à une 
ordonnée, et imaginons que l'on construise la ligne exprimée, dans 
ces conditions, par F(x,y, c) — o, où x sera devenu ainsi une simple 
constante. Faisons d’abord, pour simplifier, abstraction : i° des va 
leurs infinies de c qui correspondraient à des valeurs finies de y ou 
qui, dans la ligne fictive en cpiestion, représenteraient des points 
situés à l’infini; et aussi, 2 0 , des points singuliers que pourrait très 
exceptionnellement présenter celte môme ligne fictive. 
La fonction F(cr, y, c) étant censée, pour les valeurs finies des 
variables, continue avec ses dérivées premières en y et en c, la ligne 
auxiliaire dont il s’agit, ou qui a l’abscisse y et l’ordonnée c, se conti 
nuera de part et d’autre de chacun de ses points, comme on a vu 
(p. 44*) 5 et elle ne pourra, à l'instant où seront atteintes certaines 
valeurs de l’abscisse y, perdre ou gagner des ordonnées c, qu’à la fa 
veur d’une branche tangente à ces ordonnées et n’existant que sur un 
seul de leurs côtés où elle se prolongera de part et d’autre du point 
de contact. Or, ou bien une telle branche se confond sur une certaine 
longueur avec l’ordonnée c, et alors il y a, pour cette valeur de y, des 
valeurs de c infiniment voisines les unes des autres (puisqu’elles sont 
même en nombre infini), c’est-à-dire, au point (x, /) correspondant 
du champ de la famille, des courbes très peu cliiTérenles s’intersectant. 
Ou bien, au contraire, la branche en question de la ligne auxiliaire 
n’a, avec l'ordonnée c, qu'un point commun, celui de contact ; et alors, 
dans le voisinage, pour une abscisse y infiniment peu différente, elle 
a deux ordonnées presque égales à c, la branche s y trouvant évi 
demment coupée, par une parallèle à sa tangente c, des deux côtés du 
point de contact. 
Dans les deux cas, toute valeur de y pour laquelle changera le