ENVELOPPE EXTÉRIEURE ET ENVELOPPES INTÉRIEURES 
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nombre des valeurs de c correspondra, sur la parallèle à 1 axe des y 
suivie, à un point {x, y) où se produiront deux valeurs de c infini 
ment peu différentes, limites d’autres très peu différentes en ce même 
point ou à son approche. Le point {x, y) ainsi obtenu fera donc partie 
du lieu des intersections successives de courbes de la famille très voi 
sines, que nous appelons enveloppe, et que donnent les équations (28). 
Le même fait aura également lieu presque toujours quand la ligne 
auxiliaire F(a?, y, c) = 0, dans laquelle y et c sont les coordonnées, 
présentera des points singuliers, puisque, sauf le cas extrêmement 
rare de branches singulières y aboutissant, les ordonnées c qui s’in 
troduiront ou disparaîtront pour des abscisses y de tels points singu 
liers iront toujours (p. 165*) par groupes de deux, égales à ce premier 
ou dernier moment. Et môme s’il existe une branche singulière, d’un 
degré pair de multiplicité, qui mette en défaut ce principe, c’est-à-dire 
qui, commençant ou finissant pour une certaine valeur de l’abscisse y, 
fasse naître ou évanouir pour cette valeur de y une valeur de c unique 
géométriquement (ne donnant qu’une courbe c = const. en chaque 
point de la parallèle suivie à l’axe desj) bien qu’analytiquement 
équivalente à plusieurs, on ne pourra sans doute que par une fiction 
d’analyse voir là une rencontre de courbes infiniment voisines, puisque 
celles-ci ne pourront être distinguées l’une de l’autre : mais, du moins, 
les équations (28) exprimeront encore cette sorte de limite d’une ré 
gion; car la dérivée de F par rapport à c, dans la ligne fictive ayant 
pour coordonnées y et c, sera nulle le long de toute branche sin 
gulière. 
Ainsi, une limite de deux régions susceptible d’être traversée par 
des parallèles à l’axe desjç, et aux divers points de laquelle c ne soit 
pas infini, fait toujours partie du lieu des intersections successives des 
courbes de la famille, ou, du moins, de celui que représentent les 
équations (28). Et quant à une limite qui serait, sur une certaine 
longueur, parallèle à l’axe des y, ou que ne couperaient pas les lignes 
suivies ci-dessus, la môme conclusion s’y étend; car on peut la tra 
verser le long de droites parallèles à l’axe des x. 
En résumé, aux distances finies de Vorigine, les seules enveloppes 
ou les seuls confins de région que les équations (28) soient parfois 
impuissantes ci donner sont des lignes en tous les points desquelles 
le paramètre c prendrait des valeurs infinies; ce qui, lorsque y ne 
varie pas alors infiniment comme c (pour x constant), implique en 
général la tendance de y vers une limite et, par suite, de la courbe 
f c) = o vers une dernière situation parfaitement déterminée, 
susceptible, dès lors, d’être obtenue en y regardant la valeur infinie