jg 0 * ENVELOPPE INTÉRIEURE ü’üNE FAMILLE DE PARABOLES.
ces deux branches. Comme on a ici
F0,7, c)=j —c2(a7 —c) 2 ou y — (ex — c®)*,
la dérivée de F, par rapport à c, est — 2(ex— c-)(x— 2c). Or, en
l’annulant d’après la seconde équation (28), il vient bien, i°, soit
ex— c 2 =o et, par suite, y — o, ce qui est l’enveloppe extérieure,
2 0 , soit x — 2c — o ou c — ^ et, par suite, / ou (ca? — c 2 ) 2 — ^
ce qui est la courbe du quatrième degré constituant l’enveloppe inté
rieure. Toutes les paraboles de la famille sont tangentes extérieure
ment à cette courbe ou la touchent par son côté convexe ; mais, tandis
que, à partir de leur point de contact avec elle, leur partie montante
s’en éloigne indéfiniment et ne cesse pas de lui être extérieure, celle
qui, au contraire, descend vers l’axe des x, la coupe ensuite, dans
son relèvement ultérieur, en deux endroits, pour x — 2c( — 1 ±^2).
Ces circonstances résultent immédiatement de l’expression
qui représente l’excédent, pour toutes les abscisses successives x, de
l’ordonnée y de la parabole du quatrième degré, sur celle d’une para
bole quelconque de la famille, et qui s’annule, sans changer de
signe, quand x—q.c, mais de plus, en changeant de signe, quand
x — 2 c (— 1 ± y/2 ).
Ainsi, dans cet exemple, l’enveloppe intérieure, tout en limitant
les courbes de la famille, quant à leurs portions contiguës à ses points
de contact avec elles, ne limite pas de même leurs parties plus éloignées,
qui, d’un côté, la coupent. On exprimerait qu’elle ne borne pas la
totalité, mais seulement une partie de ses enveloppées, en l’appelant
une enveloppe partielle en même temps qu’une enveloppe intérieure.
Les paraboles considérées présentent donc cette particularité, digne
de remarque, de croiser une branche de leur enveloppe à quelque
distance de leurs points de contact avec elle.
Observons enfin que, sur l’autre branche y = o, les expressions (82)
de c se réduisent à c = x et c — o. La seconde de celles-ci étant con
stante, tandis que la première y prend autant de valeurs que l’abscisse,
ce lieu, y = o, d’intersections successives de toutes les courbes de la
famille, est en même temps l’une d’elles, savoir celle, infiniment ou
verte, dont le point de contact avec l'axe des x se trouve à l’origine.
