PROPRIÉTÉ DISTINCTIVE DES COURE. ASYMPT. DANS UNE FAM. ; 
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gneront sensiblement les unes après les autres de la ligne limite 
F(x,y, ±oo)r=o, dans l’ordre des valeurs absolues croissantes de 
leur paramètre caractéristique c. La limite F {x, y, ±œ)=o sera 
donc une ligne d’infini rapprochement pour celles qui n’en diverge 
ront qu’à une distance infinie; et rien n’empêche que, prolongée sans 
fin dans les deux sens ou se fermant sur elle-même, elle en soit de 
même une pour toutes les courbes F{x,y, c) — o. 
On pourra l’appeler, à l’exclusion de ces courbes sur lesquelles c est 
fini, la ligne asymptote de la famille, si l’on entend celte dénomina- 
nation dans un sens plus étendu que le sens ordinaire, où Vasympto- 
tisme désigne un indéfini rapprochement se complétant à l’infini, mais 
ne se réalisant dans une mesure très grande, par les divers degrés 
croissants de rapprochement de deux courbes relativement à leur 
écart initial ou maximum donné, qu’à partir de points plus ou moins 
éloignés de l’origine. Ici, au contraire, il s’agit d’un asymptotisme 
qui se manifeste, en chaque point {x, y), par tel degré très élevé 
de rapprochement relatif qu’on le veut, déjà opéré à cet endroit, 
entre l’asymptote et diverses courbes convenablement choisies de la 
famille. 
Effectivement, nulle courbe de la famille ne peut en être une 
asymptote ainsi entendue, que si le paramètre c y acquiert une va 
leur infinie. Car admettons que l’une des lignes F{x, y, c) = o soit 
une telle asymptote. Nous devrons concevoir que, dans le voisinage 
d’un quelconque {x, y) de ses points, il passe d’autres courbes de la 
famille, présentant avec elle et, par suite, chacune relativement à une 
autre contiguë, une infinité de degrés très élevés de rapprochement 
(eu égard à leur écart en d’autres endroits, de l’ordre de la varia 
tion A c du paramètre pour deux consécutives). Donc, en suivant, à 
partir de (x, y), cette ligne asymptote, jusqu’aux points où s’en éloi 
gneront à des distances sensibles les courbes delà famille dont le rap 
prochement relatif mutuel en (x, y) atteignait ces degrés très élevés, 
on en trouvera d’autres, comprises entre elle et les précédentes, pré 
sentant à leur tour ces mômes degrés très élevés de rapprochement 
relatif, ou qui, par suite, près de {cc, y), étaient incomparablement 
plus rapprochées que les précédentes de l’asymptote; et ainsi de suite 
à l’infini. Or chacune de ces séries de courbes qui, aux endroits où 
elles sont étalées, couvrent des étendues de largeur sensible, corres 
pond à une variation totale également sensible du paramètre c; et 
une infinité de pareilles séries implique une variation infinie du para 
mètre, à moins que celui-ci ne passe une infinité de fois par les mêmes 
valeurs sur des courbes différentes et, définissant ainsi très imparfai-