CAS OU CES COURBES SONT DES ENVELOPPES. 
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lement ces courbes, ne soit mal choisi. C’est bien dire que si, à partir 
d’un point voisin de {x, y), mais d’ailleurs quelconque et où c est par 
conséquent fini, on se rend au point (or, y), le paramètre c éprouve à 
la traversée de tout cet ensemble de lignes un changement total infi 
niment grand, et devient infini en {x, y) comme il s’agissait de le 
démontrer. 
Le paramètre c variant avec une rapidité qui dépasse toute limite 
à l’approche d’une courbe asymptote, le rapport de M à A c y devient 
évanouissant dans la formule (3o) | p. 180*]; et celle-ci montre que 
la dérivée de F par rapport à c y est alors infiniment plus voisine de 
zéro que l’expression appelée K, laquelle se trouve comparable à la 
plus forte des deux dérivées F en x et en y. Si donc ces deux dérivées 
de F en x et r ne deviennent pas infinies avec c, la dérivée de F par 
rapport à c sera nulle tout le long de la courbe asymptote; et les 
équations (28) [p. 178*! ne représenteront pas moins une pareille 
courbe que les lieux d’intersections successives ou d’infini rapproche 
ment ordinaires. Mais il pourra n’en être plus de môme quand les 
dérivées de F en ¿c ou en y dépasseront toute limite avec c : néan 
moins, comme la dérivée de F en c devra, sur la ligne asymptote, 
avoir un rapport infiniment petit avec ces dérivées en x et en y, il lui 
arrivera encore assez souvent de vérifier la seconde équation (28). 
La démonstration, donnée tout à l’heure (p. 188*), touchant les li 
mites des diverses régions occupées par une famille de courbes, in 
dique que les lignes asymptotes de la famille, lieu de points (x, y) où 
le paramètre c est infini, peuvent remplir le rôle d’enveloppes ; je les 
appellerai alors des enveloppes asymptotes. 
113. — Exemples. 
Il est aisé d’en donner des exemples, sur des familles ayant leurs 
équations de la forme F(.r— c, v) — o (*), ou comprenant les 
diverses positions d’une courbe exprimée d’abord par l’équation 
F(,r, y) — o, et que l’on déplace parallèlement à J’axe des x de la 
quantité positive ou négative c. A des valeurs successives du para 
mètre toutes équidistantes de A c, correspondront par conséquent des 
courbes présentant chacune avec la suivante les mômes séries d’écarts 
A/, inférieurs mais généralement comparables à la distance Ac de deux 
points homologues de ces courbes et atteignant cette valeur maxima 
C) On en trouvera plus loiu (n° 181*) un exemple très simple d un autie genre, 
dans une famille de lignes recouvrant une surface. 
B. — I. Partie complémentaire. 1 ’