EXEMPLE DE COURBES ASYMPTOTES ET D ENVELOPPES ASYMPTOTES, 
endroits où la tangente serait perpendiculaire à Taxe des x : 
(3o), permettra donc d’apprécier, en 
legré du rapprochement entre courbes 
le rapport de Ac a a/, donne par 
chaque point (x, y) du plan, Je ( 
voisines. 
Or toute asymptote, parallèle 
nératrice de la famille, deviendi 
de cette dernière; car elle se con 
posée s’être éloignée d’une que 
sentera, en chacun de ses points 
de rapprochement avec diverses positions moins avancées de cette 
même ligne. Ce sera une enveloppe extérieure quand la courbe 
F(¿p, y) —o se trouvera tout entière sur un seul de ses côtés, une 
enveloppe intérieure quand elle s’étendra des deux côtés, mais qu’elle 
possédera plus d’ordonnées y, ayant même valeur, d’un côté que de 
l’autre, de manière à donner lieu en chaque point (¿c, y) du plan, par 
ses diverses positions, à plus de croisements d’un côté que de l’autre; 
enfin ce sera une simple courbe asymptote, non enveloppe, dans les 
autres cas, comme par exemple quand la ligne F(#, y) — o se trouvera 
symétrique par rapport à un point de l’asymptote et présentera des 
deux côtés des particularités analogues. 
Voici d’abord trois familles, deux transcendantes, la troisième 
algébrique, dont l’équation F — o se forme en prenant respective- 
algébrique, dont l’équation 
ment 
F — 0 se forme en pr 
(33) F — y— tangh(a" — 
c). 
= y — e (■'—'Q =y[ 1- 
c’est-à-dire 
(3 0 J — tangh(a? — 
c), 
4 
II 
1 
î|. 
II 
Tl 
I -+■ {x — c) 2 
Dans les deux premières familles, les dérivées de F tant en x qu’en y 
sont partout finies et, dans la troisième, la dérivée de F par rapport 
à c s’annule pour c infini, comme nous le reconnaîtrons bientôt; de 
sorte que, dans les trois, les relations (28) donnent les courbes asymp 
totes. Quand ¿c — c grandit de—00 à zéro et de zéro à + 00, l’or 
donnée y croît, dans la première, de — 1 à zéro et de zéro à 1, décroît 
dans la seconde de 1 à zéro, pour croître ensuite de zéro à 1, et croît 
au contraire, dans la troisième, de zéro à 1 pour décroître ensuite 
de 1 à zéro. 11 y a donc, comme lignes asymptotes, obtenues en po 
sant c — co et c — — 00 dans la première, c = ±oo dans les deux autres, 
les droites respectives y ——1 et r — 4- 1 dans la première famille, 
y — i dans la deuxième, y ~ o dans la troisième ; et ce sont des enve-