TES 
«unii 
* Joie i Jt 
1>3k j 
" n ** '-ourbeg^. 
* ^ n * »%- 
"' N^sJ 
, ' i;1 '' «MCtsitJ 
, *'<re ijwiljfji 
1 'ini le Vi > 
•l*W №l¿,i¿* ; ; I 
aient, In (òli -, | 
mini x, »limiliJ 
mu envelop«. fe: | 
■Fr,. wJÊ 
inpliileetfKiflIa 1 ' 
anuíanles, la lid 
e en prenant red 
s rN.-d 
veenile F lantinifï 
i lewée if F s,t ‘ 
nwoiwilroto* 
donnent les conri^^ 
m eiileKtoi- 1 
.dèan^i 
K»« 
ensuite i 
le aroai. 
mut 
nnpiui» 
v oto* 511 1 
isles^'î 
,ians la P 10 
¡ito* 
DANS DES FAMILLES DE COURBES PLANES. ICj r )* 
loppes extérieures, concurremment avec le lien d’intersections suc 
cessives y ~o de la seconde et y — i de la troisième. 
Les équations différentielles de ces trois familles, résultant de l’éli 
mination de x — c entre les équations (34) et leurs dérivées, sont 
respectivement 
(35) y=i—y\ y' 2 = 4jk 2 ( lo S~) 3 » y 2 = 4y i — i )* 
Les deux dernières n’admettentpourj'des valeurs (réelles), ou ne don 
nent j' 2 positif, qu’autant que l'ordonnée y s’y trouve comprise entre 
zéro et i : il n’y a donc, de toute manière, aucune courbe en dehors 
des deux enveloppes y — o, y — i que nous venons de trouver. Mais la 
première (35) est satisfaite, en dehors des deux limites y = ± r, quand 
on y remplace j par l’inverse, coth(.r — c), de la valeur tangh(¿£— c) 
que nous lui connaissons entre ces limites; ce qui se voit de suite en 
observant que la substitution de ÿ à y transforme la première (35) en 
celle 
— j i vérifiée identiquement en vertu même 
ijieiM 
• etoeïtof 
- ci 4(j)j' 
de (35), vu que ~~ =— —• Il est donc naturel d’associer à la 
famille y— tangh(o? — c) de courbes, comprise entre les deux asym 
ptotes y = ± i, la famille jy=:cotb(^ — c), bornée intérieurement 
par les mêmes asymptotes ou occupant le reste du plan. Mais cela ne 
suffit pas pour qu’on doive regarderies droites y =z db i comme des 
enveloppes intérieures, ou séparatives de diverses régions dans le 
champ d’une même famille, malgré une certaine analogie avec ces en 
veloppes : car, bien qu’associées par leur équation différentielle com 
mune r'rri—j 2 , les deux familles sont distinctes, puisque leurs 
équations finies sont toutes différentes; et, d’ailleurs, les courbes d’au 
cune de ces deux familles ne s’étendent des deux côtés de leurs asym 
ptotes, sur l’espace voisin, comme le faisaient de part et d’autre de leur 
enveloppe intérieure les paraboles étudiées tout à l’heure (p. 190*). 
J’ai dit que, même dans la troisième famille (34), où la dérivée de 
l’expression correspondante (33) de F en y devient infinie avec c, 
celle de F par rapport à c s’annule alors. En effet, elle égale — 2JK(^—c), 
expression qui, vu la troisième valeur (34) de y, devient sensible 
ment, pour c infini, le quotient de — 2 (x — c) par (x — c) 2 , ou celui 
de — 2 par le diviseur infini x — c. 
11 n’en sera plus de même si l’on pose 
(36) F = JK [ I _ h ( a7 — c) 2 ] — {x — c) ou