196* EX., DANS UNE F AM. DE COURBES ET DE FONCTIONS, D’UNE COURBE
équation représentant des courbes qui ont encore l’axe des x pour
asymptote, mais qui croisent cet axe en leur centre x — c ; ce qui fait
que leur ligne asymptote y = o n’est pas une enveloppe. La dérivée
de F en c, — 2y(x — c) 4- i, calculée pour les très grandes valeurs
absolues de c qui font y sensiblement égal à l'inverse de x — c, de
vient la quantité finie — 2+1 ou — 1. Et cette dérivée, évaluée d’une
manière toute pareille, serait même infinie avec c (car sa moitié se
réduirait sensiblement à. x — c) si l’on posait
(37) F = y[j + {x — c)*] — {x — c) 2 , / = Y-IJk — c) *’
cas où l’on a essentiellement / >0 et où J’axe des x, encore ligne
asymptote, cumule ce rôle avec celui de lieu d’intersections succes
sives, ou de tangente (pour x — c) aux courbes de la famille; ce qui
en fait à double titre une enveloppe.
Je terminerai par une remarque assez importante. Dans les exemples
ci-dessus, la dérivée y' ne dépasse nulle part une certaine grandeur
absolue; et il en résulte que l’écart mutuel de deux courbes voisines
en un endroit quelconque {x, y) est du môme ordre, soit que l’on y
considère sa vraie valeur, mesurée par la normale Al allant de l’une
d’elles à l’autre, soit qu’on l’estime par une parallèle Ay à l’axe des y,
intercalée entre elles à partir du même point que celte normale A/. En
effet, Ay est le grand côté d’un triangle sensiblement rectangle, ayant
son second côté Al opposé à un angle valant à fort peu près celui de
grandeur perceptible que forme la tangente en {x, y) avec l’axe desy\
et Al se trouve, par conséquent, comparable à Ay. Mais il n’en est pas
toujours de même; et alors une ligne véritablement asymptote peut
ne plus le paraître d’une manière certaine, quand on y évalue les
écarts par des parallèles Ay dont le rapport à Al grandit sans limite.
Tel est le cas, par exemple, de la famille très simple de logarith
miques y = Ce x , dont l’équation peut s’écrire y — ± e x ~ c , en appe
lant — c le logarithme naturel de la valeur absolue de C. Leur tan
gente fait avec l’axe des y un angle sensible, sauf pour les très grandes
valeurs positives de x — c; car la dérivée/', égale à db e x ~ c , grandit
indéfiniment (en valeur absolue) avec x — c. On ne peut donc y éva
luer les écarts entre courbes voisines par des parallèles Ay à l’axe des
/, si ce n’est pour des valeurs ou négatives ou modérées de x — c.
Supposons, afin de fixer les idées, que les axes soient rectangulaires.
Alors, si l’on mène entre deux courbes consécutives à paramètres
c, c -+- Ac, et en partant d’un point (x, /) de la première, la parallèle
Ac à l’axe des x et la normale kl, ces deux droites formeront, avec un
