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TANGENTE, DIFFÉRENTIELLE DE L’ARC
151*. — Tangente, normale, sous-tangente, sous-normale, différentielle
de l’arc et rayon de courbure, en coordonnées polaires.
Soient : AS (p. 198*) une courbe étudiée en coordonnées polaires,
/• et 0 les deux coordonnées d’un quelconque, M, de ses points;
r—f{6) son équation. Après avoir pris sur cette courbe, à partir du
point M, un arc infiniment petit MM' — ds, correspondant à un ac
croissement élémentaire MOM' = c/ô de l’angle polaire, menons la tan
gente TMM'T' et la normale MN, ainsi qu’une perpendiculaireTNau
rayon vecteur, par le pôle O. On appelle sous-tangente la partie, OT,
de cette perpendiculaire, qui est comprise entre le pôle et la tangente,
sous-normale, la partie, ON, de la même perpendiculaire, qui va du
pôle à la normale, enfin, tangente et normale, les segments MT et
MN de la tangente et de la normale, qui, partant du point M de con
tact, aboutissent aux extrémités T et N de la sous-tangente et de la
sous-normale.
Comme le rayon vecteur OM = r est donné, toutes ces droites
s’évalueront aisément si l’on peut connaître l’angle, Y, que fait la
tangente MT', menée du côté où 0 grandit, avec le prolongement MP
du rayon vecteur. Or, OM' se confondant à la limite avec OM, l’angle
OMT, opposé et égal à Y, peut être remplacé par OM'T; et, si l’on
porte OM sur OM' (ou sur son prolongement), de manière à construire
un triangle isoscèle MOK infiniment aigu en 0 et ayant par suite son
angle K sensiblement droit, cet angle OM'T (ou son supplément KM'T)
sera un des angles du triangle sensiblement rectangle MKM'. D’ail
leurs, le côté KM'de celui-ci, différence rtc//’ des deux rayons vecteurs
consécutifs OM, OM', vaudra dr /-'¿/0 — ±/'(6) c/0; et l’autre côté KM
de l’angle presque droit K, corde d’un arc de cercle décrit du point 0
comme centre avec OM = r pour rayon, pourra être, à la limite,
remplacé par cet arc OM x c/0 = r c/0. Le triangle M'KM différant
aussi peu qu’on veut d’être rectangle, les côtés y ont entre eux ou
avec les angles, sauf erreurs nulles à la limite, les mêmes relations
que dans un triangle rectangle, et l’on peut écrire
KM = KM'tangKM'T,
c’est-à-dire
/•(¿O = (± dr)( ± tangV) = (r'c/0) langV.
Il vient donc
(5) tang V’ = - y ou cot V = —, V = arctang
r r r
Telle est l’expression de l’angle Y, qui définit la direction MT' de la
