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ET COURBURE D'UNE COURBE PLANE, EN COORDONNÉES POLAIRES. 
tangente. On en déduit aisément, comme il a été dit, les quatre lon 
gueurs ON, OT, MN, MT. Par exemple, le triangle OMN, rectangle 
en 0, donne de suite 
ON = OM tangOMN = r tang^rh ~ qzY^ =± /-cotV = db r 
et 
MN = VÔM V ÔN 2 = y/T^Tr 7 *. 
On a donc, en appelant, pour abréger, S„ la sous-normale, N la nor 
male et en attribuant à la sous-normale le signe de r, ou la comptant 
positivement quand son azimut sera 0 - , négativement quand il 
sera 0 ; 
■i 
(6) S„ = r', N = y/r 2 -t- r' 2 . 
La différentielle, MM' = ds, de Lare AM = s fonction de G, ne s’ob 
tient pas moins aisément; car dans le triangle, infiniment près d’être 
rectangle, M'KM, il vient, à la limite, 
MM' = vmkVkm' 2 
ou 
(7) ds = y// >2 f/0 2 -+- dr- = y// -2 -h r' 2 c/0 = N c/0. 
Evaluons encore l’angle de contingence d’un arc élémentaire ds et, 
pour cela, menons par le pôle O une droite mobile 0/, constamment 
parallèle à la tangente, MT', au point (/*, 0) que nous imaginerons se 
déplaçant le long de la courbe. Cette droite 0/ fera avec le rayon vec 
teur correspondant OM l'angle Y et, par suite, avec la direction fixe 
0ai, l’angle 0 h-Y ou 0 + arctang —, • Si donc 0 croît de f/0, ou qu’on 
passe de M à M', la différentielle de æOt, angle de contingence cher 
ché, sera successivement 
c/0 -+- d arc tan g ~ = f/0 
r 
c/0. 
Enfin, divisons l’expression (7) de ds par cet angle de contingence, 
et nous obtiendrons, comme on sait, le rayon de courbure MG = li de 
la courbe, pour le point considéré M(r, 0) : 
(8) 
3 
On portera sa valeur (8), ¿1 partir du point M(r, 0), dans le sens MN