SOUS-NORM. A LA SPIR. D’ARCHIM. ET TANGENTE A LA SPIR. LOGAR. 'loi* 
Observons, à cet égard, que l’équation première de la spirale loga 
rithmique, /• — e a0+ C pouvait aussi s’écrire r — e b e aô , ou r= K e a0 , en 
appelant K la quantité positive e b , arbitraire entre o et oo lorsque b 
l’est entre —oo et oo ; d’où il suit que la rotation O 0 , qui réduit les rayons 
vecteurs e a ^ +b à e rt0 dans chaque direction de l’espace, a pour effet de 
les diviser par K. Donc, quand on allonge ou qu’on raccourcit dans 
un même rapport quelconque tous les rayons vecteurs d’une spirale 
logarithmique, on obtient la même spirale, qui se trouve seule 
ment avoir tourné autour du pôle d’un angle proportionnel au 
logarithme de ce rapport. Or, en faisant varier ainsi proportion 
nellement les rayons vecteurs et, par suite, tous les éléments ds de 
la courbe proposée, sans y changer aucun angle, on produit des 
courbes qui lui sont semblables. Donc, les spirales logarithmiques 
semblables sont égales entre elles; et, dans toute spirale loga 
rithmique, deux arcs vus du pôle sous un même angle, mais 
d’ailleurs quelconques, sont semblables. 
Gela suppose évidemment qu’il y a des rayons vecteurs de toutes 
les grandeurs, et une infinité de spires, dans une spirale logarithmique. 
Effectivement, si l’on fait décroître 0 de -+- oo à — cc, r = e a9 décroît 
sans cesse, depuis la valeur q-oo jusqu’à la valeur limite zéro, de 
sorte que la courbe décrit une infinité de spires microscopiques au 
tour du pôle. Celui-ci est appelé, pour cette raison, un point asym 
ptote. 
La propriété la plus remarquable delà spirale d’Archimède consiste 
en ce que, la dérivée /•' ou f\6) s’y réduisant au coefficient «, la 
sous-normale y est constante d’après la première formule (6). Celte 
propriété permet de construire simplement la normale et, par suite, 
la tangente à la spirale d’Archimède. 
153*. — Propriété caractéristique de la tangente à la spirale 
logarithmique. 
Cherchons sous quel angle V les rayons vecteurs r, prolongés, cou 
pent la spirale logarithmique dont l’équation est r = e ii0 , ou, ce qui 
revient au môme, quel angle ces rayons y font avec les tangentes res 
pectives à la courbe. En différentiant l’expression e a{) de r, il vient 
r' — ae a ® ~ ar ; et, d’après (5 ), la cotangente de V se réduit à a. Donc, 
la spirale logarithmique coupe tous ses rayons vecteurs sous un 
angle constant. 
C’est ce qu’on aurait pu prévoir quand on a remarqué que des 
parties d’une spirale logarithmique occupant, vues du centre, un