2o8' 
courbes d’intersection de surfaces continues; 
niment des deux côtés du point commun, ne pourra éviter de franchir 
aussi la courbe presque contiguë ou qui ne s’éloigne qu’extrêmement 
peu de cette seconde droite; et l’autre courbe, qui suit la première 
droite dans son cours et qui passe ainsi, comme elle, d’un côté à l’autre 
de la seconde courbe, ne la coupera pas moins. 
Mais Je point d’intersection des deux courbes sera unique. En effet, 
les plans tangents qu’on peut y mener aux deux surfaces, étant sen 
siblement parallèles, vu la continuité de celles-ci, aux deux plans tan 
gents en {x, y, z), le plan des courbes coupera ces deux systèmes de 
plans sensiblement parallèles suivant deux couples de droites presque 
parallèles aussi dans chaque couple; en sorte que les deux, d’entre ces 
quatre droites, menées tangentiellement aux deux courbes en leur 
point d’intersection, feront entre elles un angle presque égal à celui 
des deux autres, qui est de grandeur appréciable; et les deux courbes, 
ayant ainsi en leur point commun des tangentes differentes, s’écarte 
ront sans cesse l’une de l’autre à partir de leur point commun jus 
qu’aux distances sensibles, de manière à ne pas se rejoindre tout près. 
Donc la ligne gauche présentera, dans le voisinage de son point quel 
conque (x, y, z), une branche et une seule se prolongeant sans jarret 
de part et d’autre, si l’on excepte les deux cas : i°, où les surfaces 
F = o, <l , = o auraient en ce point (x, y, z) plan tangent commun; 
3°, où le point {x, y, z) serait singulier sur l’une ou sur l’autre des 
deux surfaces. Le premier cas est de beaucoup le moins rare. En 
effet, l’identité des deux plans tangents en (x,y,z) exige simplement 
qu’il y ait, dans leurs équations respectives (3) [p. 281], proportion 
nalité des coefficients de Xi — x, y 1 —y, z L — z-, ce qui, joint aux 
équations mômes des deux surfaces, donne en tout, entre les trois 
coordonnées x, y, z de ces points singuliers de la courbe, les quatre 
rela lions 
d F 
d F 
c/F 
dx 
= -SL = 
~dz 
d<\' 
d<i> 
d<\> 
dx 
dy 
dz 
Or il y aurait cinq équations à vérifier, si le point (x, y, z) devait 
être un point singulier de l’une des surfaces, de la première par 
exemple, savoir l’égalité à zéro de F, de ses trois dérivées en x, y, z 
et de 'F : conditions qui, pour le dire en passant, satisfont au système 
(4)- Ainsi, les points qui seront singuliers sur la courbe ne le seront 
généralement sur aucune des deux surfaces dont elle constitue l’inter 
section, et, cependant, les courbes gauches qui en présenteront se trou