rOINTS ISOLÉS ET POINTS DOUBLES.
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veront très exceptionnelles, puisqu'il faudra que Je système (4) de
quatre équations à trois inconnues y soit compatible. C’est dire que la
courbe gauche en sera dépourvue le plus souvent et formera bien une
ligne continue, sans arrêt, ni coude brusque, ni bifurcation.
Il est aisé de voir quels seront les points singuliers les moins rares,
imaginons, à cet elTet, que, par l’ordonnées d’un point (x,y,z) véri
fiant les équations (4), on mène une infinité de plans, distingués les
uns des autres au moyen de leurs traces sur le plan des xy; et soient
x —r 11/, / + Ki les coordonnées d’un point de l’une de ces traces, IIt,
Kt désignant de petits accroissements variables reçus à partir de (x, y)
par ces coordonnées, le long de la trace, qu’un mobile sera censé par
courir uniformément depuis le temps t. Soit enfin, d’autre part, l la
différence des ordonnées menées suivant les z aux deux surfaces F = o,
<I>=:0 en partant du point Il t, y-y- Iv£) du plan des xy. Il est clair
que cette différence de deux ordonnées fonctions généralement gra
duelles des deux variables a; H- lli, y -+- Iv£, en sera une nouvelle fonc
tion analogue II t, y -y Ki). D’ailleurs les deux surfaces possé-
danten (#,/, même plan tangent, leurs deux coupes par chaque plan
sécant mené suivant l’ordonnée z y ont la même tangente, intersection
du plan tangent commun parle plan sécant; ce qui signifie que les
ordonnées, fonctions de t, des deux coupes, ont même dérivée pour
t — o, ou (pie la dérivée de leur différence l s'annule alors. Celte dif
férence l, nulle elle-même à cet instant, s’y trouve donc minimum ou
maximum suivant que sa dérivée seconde par rapporta t, savoir
(5)
TI2 r/2 ’^ Tri' clî 'if
dx* * dxdy 1 V + dy*
K 2 ,
y a le signe plus ou le signe moins; et, dans le premier cas, l est po
sitif aux environs du point (x, y, z) sur Je plan sécant considéré,
tandis qu’il y est négatif dans Je second. Or, d’ordinaire, l’expression
(5) ne s’annule pas identiquement, mais prend, comme ou sait, ou le
même signe pour toutes les valeurs possibles du rapport de K à II, ou
signes différents dans les angles voisins formés par deux certains plans
sécants sur lesquels l’expression (5) devient alors nulle. Il est clair
que, dans le premier cas, l’écart / des deux surfaces ne se réduira
nulle j i a r t à zéro autour du point (x, y, z); et celui-ci sera un point
isolé. Au contraire, dans le second cas, l’écart l changera de signe près
des deux plans où s’annulera l’expression (5); et une démonstration
déjà donnée dans un cas analogue ( p. 15y*) prouve que deux branches de
courbe se croiseront en (x, y, z) : ce point sera donc un point double.
B. — I. Partie complémentaire.