COSINUS DIRECT. D’UNE NORM. A DEUX DROITES RECTANG. 2 11*
ces trois binômes par l’une des deux racines carrées de la somme
(bc — cô') 2 -+- (ca' — ac') s -H (ab'~ ba') 2 .
Or la valeur de cette somme est identiquement
(a 2 - - b 2 -r- c 2 )(a' 2 -+- ô' 2 -f- c' 2 )-(flfl'+ bb'-h- ce') 2 ,
comme on Je reconnaît en développant les calculs ; de plus, elle se ré
duit à l’unité, ou a pour racines carrées ± i, par suite de l’égalité à i
de chacune des deux sommes a' 2 H- b 2 -+- c 2 , a' 2 -\- b' 2 -+- c n , avec la
condition cia.' bb' -+- ce' o, qu’entraîne la perpendicularité mu
tuelle des directions (a, b, c), («', b', c'). Il vient donc
(26) A = ybc'—cb'), z(ca'-ac'), G = :':{ab'~ ba');
et il ne reste plus qu’à savoir lequel, du signe supérieur -4- ou du signe
inférieur — , il faut adopter dans ces trois formules. A cet effet,
observons que, si l’ensemble des trois droites rectangulaires tourne
arbitrairement dans l’espace, leurs neuf cosinus directeurs varieront
avec continuité et ne pourront changer de signe qu’en s’annulant. Or
A, B, C, exprimés sans cesse par les formules (26), ne s’annuleront
jamais à la fois, puisque la somme de leurs carrés est constamment 1.
11 n’v aura donc aucun moment où puisse se faire le passage du signe
supérieur 4- au signe inférieur —, ou vice versa, passage qui en
traînerait une variation brusque de l’un au moins de ces trois cosinus
A, B, C, dont la valeur ne s’annulerait pas; et, par conséquent, le
même signe conviendra dans toutes les positions possibles du système
rigide formé par les trois droites. Mais, si nous considérons en parti
culier celle où les deux droites (a, b, c), (a', b', c') coïncident avec
les deux axes des x et des y positifs, et où les valeurs de a, b, c,
a', b', c' sont respectivement 1, o, o, o, 1,0, ces formules (26) don
nent A =0, B = o, Cn±i. Or elles ne sont exactes qu’en adoptant
le signe supérieur +, car alors la droite (A, B, G) coïncide avec l’axe
des z positifs ou se trouve définie en direction par les cosinus 0,0, 1.
C’est donc constamment avec le signe supérieur qu’il faudra prendre
les formules (26); et l’on aura, pour les expressions cherchées de A,
B, C,
(17) A — bc — cb', B = ca'— ac', G = ah'— ha’.
Dans le cas de la binomiale, a, b, c sont les cosinus directeurs x\
y r , z 1 de la tangente et a', b', c' sont ceux, R x", R/, RA', delà nor
male principale. 11 vient donc
(28) A = R (y'z" — z' y"), B = R {z' x" — x' z"),
G = R {x'y"—y'x").
