DK LA binormale; angle de torsion. 
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à laquelle j’ai adjoint un quatrième rapport égal, formé par l’addition 
terme à terme des trois premiers après multiplication respective des 
termes, haut et bas, par x", y", z". Mais la différentiation, effectuée 
également, de la troisième relation (35) donne 
A-'x’-h BV"+ C'z = — (Aa?'"+ BCz'"), 
ou, vu les valeurs (28) de A, B, C, 
B y-h CV=-R W , 
eu appelant w, pour abréger, le déterminant formé par les neuf déri 
vées premières, secondes et troisièmes de x, r, z, 
j W “ (y z" — z y” ) x m -^(z'x — x'z ” ) y -h ( x'y"—y X" ) z'" 
J7) i = x'(y" z'"— z"y'") -hy'(z"x"' — x" z'") -+- z'(x'y"' — y x"'). 
Le quatrième rapport (36) s’écrira donc simplement, en rappelant 
l’expression (23) de R [p. 247]» — R 3 w. Et il résultera des trois pre 
miers rapports (36) comparés séparément au quatrième les formules 
cherchées des dérivées A', B', C' : 
( 38 ) A' = — R 3 co x", B' = — R 3 toy", G' — — R 3 co z". 
Grâce à ces valeurs simples (*), l’angle de torsion ch, exprimé 
par le troisième membre de (34), sera, en observant que la somme 
x Vi -Hy" % -h z" 2 est l’inverse de R 2 et prenant le résultat en valeur 
absolue, 
(3g) (h — \J IG co 2 cls = zh I » 2 eu ch. 
Si donc on divise par ds et qu’on substitue à R et à w leurs valeurs 
explicites données, le rapport de l’angle de torsion à l’arc ds résultera 
de la formule 
. ch , x'{y"z"'— z"y"') -\-y'(z"x'"—x"z'") -4- z'{x"y'"—y"x'") 
ds~~ ' «'*+/'*+*'* 
171*. — De la cambrure en un point d’une courbe gauche. 
Le rapport de ch à cls que nous venons d’évaluer, et qui exprime en 
quelque sorte, pour le point considéré (x, y, z), le degré de gauchis 
sement de la courbe, c’est-à-dire le changement de direction de son 
plan oscillateur par unité de longueur de son arc, est souvent appelé 
la seconde courbure de la courbe, à cause de l’analogie qu'il présente 
(’) Ducs à M. Frenet, ancien professeur à la Faculté des Sciences de Lyon,