COMPLÉMENT A LA DIX-HUITIÈME LEÇON.
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COMPLÉMENT A LA DIX-HUITIÈME LEÇON.
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POINTS SINGULIERS DES SURFACES; DÉVELOPPABLE CIRCONSCRITE A
DEUX SURFACES; DÉTERMINATION D’UNE SURFACE PAU L’ENSEMBLE
DE SES PLANS TANGENTS; LIGNES DE PENTE; ETC.
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171*. — Coup d’œil sur les points singuliers des surfaces courbes :
points isolés et points coniques.
Mais, revenant aux surfaces définies par une équation de la forme
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F(#, y, z) — c, jetons un coup d’œil sur le cas exceptionnel où les
trois dérivées de F en x, y, z s’annuleraient au point considéré
{x, y, z), afin de voir quelles sortes de singularités on y observera le
plus ordinairement. Il nous suffira de procéder comme nous avons
lait (p. 106*) dans l’étude des points singuliers d’une famille de
courbes planes. Nous supposerons que, parcourant un chemin variable
l le long de droites menées par le point considéré (x, r, z), on
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se trouve successivement en des points qui aient les coordonnées
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x^ — x + W l, y x —y -h K/, z l =. z -+- L /, où H, K, L désignent trois
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coefficients dont les rapports mutuels caractérisent la direction de la
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droite. Les deux dérivées première et seconde, par rapport à l, de la
fonction de point F seront évidemment, en (x, y, z), l’une, égale à
zéro par suite de l’annulation supposée des trois dérivées premières
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de F en x, y, z, et l’autre, exprimée par
plans osdiitenrsi»
l , rf* F d' 2 F
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1 dxi 11 + ~d^ K • <£.«
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1 d î F d 1 F d- F
1 -+- ‘2 7- KL -h '2 , , LU + 2 , . 11K.
dy dz dz dx dx dy
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Ce sextinôme, homogène du second degré en II, K, L, n’est pas, en
avoir tait a®rt®
général, identiquement nul; et il arrive d’ordinaire, ou qu’il garde
constamment le même signe sans s’annuler, ou qu’il change de signe
et, par conséquent, s’annule pour une infinité de directions, définies
par les rapports correspondants de 11, K, L. Comme la fonction F se
trouve évidemment minima, au point (x, y, z), le long de toute droite
pour laquelle l’expression (8) y est positive, et maxima quand elle