DES POINTS SINGULIERS D’UNE FAMILLE DE SURFACES :
j est négative, on voit que, si cette expression (8) a le même signe
pour toutes les directions, la fonction F sera un minimum absolu on
un maximum absolu en {x, y, z) et ne retrouvera pas, dans tout le
A'oisinage, sa valeur c relative à ce point. Celui-ci constituera donc un
point isolé.
Si, au contraire, l’expression (8) est positive pour certaines des
droites qui s’y croisent, négative pour d’autres, la fonction F sera plus
grande qu’en {oc, y, z) aux endroits voisins appartenant aux premières
de ces droites, mais moindre qu’en {oc, y, z) à ceux qui se trouveront
sur les secondes; et elle passera ainsi par sa valeur relative à {oc,y, z)
en des points situés, par rapport à {oc, y, z)', dans des directions infi
niment voisines de celles pour lesquelles s’annulera l’expression (8).
Or, celle-ci, égalée à zéro, donne une équation à deux inconnues
distinctes seulement, savoir, les rapports de H et Iv à L. L’un de ces
rapports y sera donc arbitraire (au moins entre certaines limites), et
il résultera de l’équation une valeur de l'autre en fonction continû
ment variable du premier.
C’est dire que les droites, émanées de {oc, y, z), suivant lesquelles
l’expression (8) s’annulera, se juxtaposeront de manière à former un
espace sans épaisseur, savoir, une surface conique, ou, comme on dit,
un cône, ayant à la fois pour centre et pour sommet le point {oc, y, z).
Les points de la surface F {oc, y, z) — c voisins de {oc, y, z) seront
donc, vus de ce sommet, dans des directions infiniment peu différentes
de celles des génératrices du cône; et, le long de toute droite très
courte perçant ce dernier près du sommet {oc,y, z) suivant une direc
tion qui ne soit celle d’aucune génératrice, droite dont j’appellerai x { ,
y 1} z Y les coordonnées courantes, la fonction F{ocy, y t , z x ) passera un
nombre impair de fois par sa valeur c relative au point {oc,y, z), puis
qu’elle devra y devenir, de plus petite, définitivement plus grande, on
vice versa. Or elle ne pourra y acquérir plus d’une fois la valeur c;
car, si elle y passait trois fois par cette valeur, sa dérivée seconde
le long du chemin suivi devrait s’y annuler d’après le théorème de
Rolle, ce qu’elle ne fait pas, ayant sensiblement le long de ce chemin,
en vertu de la continuité, sa valeur (8), différente de zéro, relative à
un chemin parallèle mené pa r (&> 7> *)•
Donc la surface aura, de chaque côté du sommet {x, y, z), une
nappe unique continue, aboutissant à ce sommet tangentiellement an
cône indiqué. C’est dire qu’un pareil point {x, y, z) établit la jonc
tion de deux nappes, qui s’y opposent mutuellement leurs tangentes
émanées de ce point. Le lieu de celles-ci, obtenu par l’annulation de
l’expression (8), dans laquelle, à H, K, L, on pourra substituer II/,