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FORMULES DE COS ( U ± p ), SIN ( U ±: p).
en observant que chacune des deux fonctions cos u, sinw a l’autre pour
dérivée, sauf un changement de signe lorsqu’il s’agit du cosinus, et
que, par suite, d’après la règle donnée au n° 11 (p, 87) pour un produit
de deux facteurs, les deux termes cos 2 îî, sin 2 ** ont respectivement les
dérivées —2 cos ¿¿sin**, 2 sin** cos**, égales et contraires. La somme
de ces deux termes, ayant ainsi sa dérivée constamment nulle, est
donc invariable, en vertu d’un théorème de la deuxième Leçon (p. 33),
et l’on peut y faire u — o, ce qui, vu les valeurs simples coso = 1 et
sino = o, la réduit à l’unité. Or le même fait de Légalité, au signe
près, des dérivées des deux termes persistera, si l’on remplace les se
conds facteurs cos **, sin** parle cosinus et le sinus d’un arc p, non
plus égal à **, mais inférieur à ** d’une quantité positive ou négative
constante u — p = D; de sorte que, ** continuant, par exemple, à être
la variable indépendante, de petits accroissements simultanés A **, Av
t -, • , t 1 t A cos p A sin p
de u et de p soient encore égaux, et que les rapports —-—■ ,
. A , , a LU3V LX Mil V , , , .
puissent etre remplaces par —-—-, —-— , ou, a la limite, les den-
vées de cosp et sinp être évaluées comme si p était la variable indé
pendante. Alors, en effet, les deux produits cos** cosp, sin** sinp ont
respectivement pour dérivées les expressions égales et contraires
cosîismp—sinncosp et sin u cos p -+- cos u sinp.
La somme cos** cosp -+- sin« sinp est donc encore invariable, la même
qu’à l’instant où v— o et où elle se réduit à cos a — cos (p+ D) cosD.
Ainsi l’expression cos** cos p-f- sin u sin p, où u et p ont été censés
d’abord quelconques et ont varié ensuite de manière à conserver entre
eux leur différence primitive D = u—-p, représente le cosinus de
cette différence. Il vient donc comme généralisation de la formule
(16) [p. 58], quels que soient les deux arcs u et p,
(17) cos(îî — p) = cos u cos p-+- sin u sinp.
Mais cette relation (17) en donne évidemment une analogue pour le
sinus de la différence de deux arcs u et p; car un tel sinus, sin(n — p),
peut être considéré comme le cosinus du complément
et ce complément est lui-mème la différence des deux arcs - -+- p, a
dont le premier a, pour sinus, sin ^ -h p j = sin — p j = cos p et.
- Sin
p
2
=: COS P et,
