CIRCONSCRITE A DEUX SURFACES DONNÉES. 32.3* 
de la droite de jonction des deux points de contact respectifs {x, y, z), 
{x u fi, -1) d’un plan tangent commun aux deux surfaces F (x,y, z) = c, 
F,(¿Fi, /1, -1) =c t . Et, d'abord, on exprime que les deux plans tan 
gents en (x 1 y, z) et (x u y t , Zy) ont même direction, en écrivant la 
double proportion 
d F r/F dV 
dx _ dy _ dz 
(n) TTEq ~ 77 Ë7 = ~dF~i ’ 
dx y dy j dz 1 
et leur identité exige, en outre, que le plan tangent en {x, y, z) aille 
passer par (¿r,,y lf ¿q), ou qu’on ait 
. , d F , d? dV 
(.,) gj- (*.-*) + O'.-r) + s h--') = ». 
Eu joignant à ces trois relations les équations F(x,y,z) = c, 
F,(#!, ,i'i, -1) = c v des deux surfaces respectives, il vient en tout cinq 
équations entre les six variables x, y, z, x,, y u zy, de sorte que si x, 
par exemple, est choisi comme variable indépendante, y, z, x u y x 
et Zy en deviennent des fonctions, et, par conséquent, les deux courbes 
(généralement doubles) de contact sur les deux surfaces sont bien 
déterminées. Enfin la génératrice de la surface cherchée a pour équa 
tions 
(i3) 
X — x V —y Z - z 
Xy—X~ Tl—y ~ Zy—z’ 
et l'élimination de x entre elles, après que y, z, x 1} yy, Zy ont été 
éliminés au moven des précédentes, ou l’élimination simultanée de 
oc, y, z, Xy, >q, Zy entre les sept équations posées, donne la relation 
cherchée entre X, ^, Z, équation de la surface à deux nappes que l’on 
considère. 
Observons que les deux plans tangents menés à une surface en deux 
points voisins (x, y, z) et (x -+- dx, y -+- dy, z -t- dz) se coupent à 
une distance infiniment petite de ces deux points. En effet, leur angle 
mutuel est généralement du premier ordre de petitesse, c’est-à-dire 
du même ordre que l’est, pour les longueurs, la distance de ces deux 
points de contact. Or l’écart perpendiculaire du second point de con 
tact (x 4- dx, y -+- dy, z -y dz) d’avec le plan tangent mené au pre 
mier (x, y, z), égale évidemment le produit de cet angle (ou de sa 
tangente) par la distance à laquelle passe de là l’intersection des deux 
plans, et cet écart se trouve d’ailleurs d’un ordre de petitesse supérieur 
au premier, à cause du contact du plan langent mené en (x,y,z) avec 
la surface. Donc la distance à laquelle vont se couper les deux plans,