Г
■Lftt,
ENVELOPPE DES PLANS TANGENTS A DEUX. SURFACES.
quotient d’un écart d’un ordre de petitesse supérieur au premier par
un angle infiniment petit du premier ordre, est bien infiniment petite,
et l’on peut dire que l’intersection des deux plans tangents passe, à la
limite, par leur point de contact.
D’après cela, deux plans tangents consécutifs, menés à nos deux sur
faces F = c et Fi—c l} se couperont, à la limite, suivant une droite
passant par les deux points de contact (j?, y, z), (яр, y u z { ) du pre
mier d’entre eux, et qui ne sera autre qu une des génératrices de la
surface à deux nappes considérée. Celle-ci peut donc être définie le
lieu des intersections successives des plans tangents communs aux
deux surfaces proposées, ou, en un mot, ['enveloppe de ces plans. Et
comme chaque plan tangent contient deux intersections consécutives,
savoir celle où il coupe le plan tangent précédent et celle où il est
coupé par le suivant, comme, de plus, la partie très aiguë d’un tel
plan comprise entre les deux génératrices correspondantes forme,
avec les parties analogues des plans tangents voisins, des angles
dièdres infiniment ouverts à la limite, et se raccorde ainsi avec elles,
pour donner finalement une nappe continue se confondant partout
avec la proposée non seulement en situation mais aussi en direction,
c’est-à-dire sous tous les rapports qu’implique notre intuition de
l’étendue superficielle, il est clair que la surface enveloppe dont il
s’agit sera assimilable à l’ensemble des longues bandes planes, infini
ment étroites, comprises de la sorte entre ses génératrices consécu
tives.
Or on pourra, sans déformer individuellement de telles bandes, les
étaler sur un plan les unes à côté des autres, en les faisant tourner
autour des génératrices qui les limitent; et l’on aura ainsi déplié cha
cune des nappes. Pour exprimer cette propriété, on dit que la sur
face demandée est une surface développable. Ce sera la dévelop
pable circonscrite aux deux surfaces données F{.v,y,z) — c el
FjÎ^i, y 1} z^ — Ci. Le cône circonscrit à la première F (¿c, y, z) — c,
à partir d’un sommet donné (¿rq, rq, -s t ), n'eu était que le cas le plus
simple, celui où la seconde surface se réduit à un point.
178*. — Détermination d’une surface par l’ensemble de ses plans tangents;
onde de Fresnel; idée des surfaces enveloppes en général.
Les questions précédentes ne nous conduisaient à considérer que
les plans tangents menés à une surface le long d’une certaine courbe
de contact, plans dont l’équation ne contenait qu’un seul paramètre
indépendant, savoir, l’abscisse x des points de contact; et le lieu de
