DÉTERMINATION DUNE SURFACE PAR SES PLANS TANGENTS. 2^5* 
leurs intersections successives prises dans toute leur longueur, ou ce 
qu’on appelait \enveloppe de ces plans tangents, était la développable 
circonscrite à la surface le long de la ligne de contact donnée ou ob 
tenue. Or on conçoit que d’autres problèmes amènent à considérer les 
intersections d’un premier plan tangent par tous ceux qui en sont 
voisins, et dont l équation contient les deux paramètres arbitraires 
distincts x et y définissant leurs points respectifs de contact, pour ne 
garder que ce qui est commun à toutes, savoir, le point même de 
contact du premier plan, point par lequel nous venons de voir (p. 228*) 
que passent constamment ces intersections. El alors Venveloppe, ou 
lieu de tous les points de concours analogues, n'est évidemment 
autre que la surface elle-même. 
('/est ce qui arrive lorsque, étant donnée une famille de plans, 
(i.{) lx -h my -1- nz = c, 
0ii c désigne une constante et /, /n, n trois paramètres fonctions de la 
direction du plan, c’est-à-dire de leurs rapports mutuels qui la défi 
nissent, on demande de trouver une surface ayant tous ces plans pour 
plans tangents. Et, d’abord, unecerlaine relation connue, o ( l, m, n) — o, 
existera entre les trois paramètres l, ni et n, puisque chacun d’eux 
sera déterminé dés qu’on donnera les rapports des deux autres à 
celui-là. Donc, on pourra regarder l et ni, par exemple, comme in 
dépendants, et n comme la fonction de /, ni définie par la relation 
o(/, ni, n) — o. 
Cela posé, le point de contact cherché (x, y, z) correspondant à 
l’un, (i4), des plans, devra être tel, que tout point de la surface infi 
niment voisin (x H- dx, y dy, z H- dz) y soit également contenu, 
à des écarts près d’un ordre de petitesse supérieur à celui de la corde 
ds dont dx, dy, dz désignent les projections obliques sur les axes. Si 
donc x, y, z, dans (i4), sont les coordonnées du point de contact, ou 
aura non seulement cette équation (i4), mais encore celle-ci, 
l{x -f- dx) -+- m (y -+- dy) -+- n{z -4- dz) — c 
obtenue en y faisant croître x, y, z de dx, dy, dz\ et il viendra, par 
soustraction, 
(15) l dx -r- ni dy -t- n dz = o, 
>auf erreur, dans le second membre, négligeable en comparaison des 
termes du premier. Mais les coordonnées x, y, z des points de contact, 
fonctions, comme n, de l et ni, sont en outre telles, que l équation 
(ij) se trouve également vérifiée pour le plan tangent conduit en 
B. — 1. Partie complémentaire. 1J