SURFACE AYANT POUR PLANS TANGENTS 
(x H- dx, y H-dy, z + dz), où /, m, x, y, z ont crû de différen 
tielles dl, dm, dn, dx, dy, dz, arbitraires seulement pour l et m. 
Donc l’accroissement total subi alors par le premier membre de (i4), 
savoir, / dx + x dl + m dy -f- y dm -h n dz -h z dn (sauf encore erreur 
infiniment petite en comparaison des divers termes), est nul ; et il 
vient, en supprimant les trois termes dont la somme se trouve négli 
geable d’après (i5), 
( i(j) x dl -hy dm -f- z dn — o. 
C’est bien l’équation qu’on aurait en cherchant les points {x, y, z) 
communs au plan tangent (14) et à ses voisins, qui en diffèrent par les 
accroissements dl, dm, dn de l, m, n\ car l'équation (i4) retranchée 
de celle de ces nouveaux, plans donnerait justement la différentielle 
(16) de (i4) en l, m, n. 
Or la valeur non arbitraire de dn résulte de o(/, m, n) — o cliffé- 
rentiée, c’est-à-dire de 
et l’on voit que la relation (iG) ne peut, après substitution à dn de 
sa valeur fournie par celle-ci (17), être vérifiée quel que soit le rap 
port arbitraire de dl à dm, que s’il y a, dans (16), proportionnalité 
do 
de (17). On formera un qua- 
des coefficients x, y, z à ceux 
d( l, m, n) 
trième rapport égal aux trois ainsi obtenus, en ajoutant ceux-ci terme 
à terme après les avoir multipliés respectivement haut et bas par /, 
m, n-, et, si l’on substitue alors au numérateur Ix -+- my -f- nz de ce 
quatrième rapport sa valeur c tirée de (i4), la comparaison de chacun 
des trois premiers rapports au quatrième donnera pour x, y, z les 
valeurs cherchées : 
(18) 
do d(l, m, n) 
n ~ 
dn 
On pourra donc construire la surface par points, en marquant, pour 
chaque système de valeurs de l et m, ou sur chacun des plans (i4) de 
la famille, le point (x, y, z) où il touche leur enveloppe commune. 
Et l’équation de celle-ci s’obtiendra par l’élimination de l et m entre 
les trois équations (18), si n en a déjà été éliminé, ou, sinon, par 
l’élimination de /, m, n entre les trois équations (18) et la relation 
cp (/, m, n) — o. 
D'ailleurs, quelle que soit la famille donnée (i4) de plans, la surface