UNE FAMILLE DONNEE DE PLANS ; ONDE DE FUESNEL. 22~* 
trouvée leur sera bien tangente aux points correspondants {x, y, z) : 
car les valeurs ( 18) vérifient identiquement l’équation (i4) et aussi, 
vu (17), la relation (16); ce qui réduit la différentielle, évidemment 
nulle, du trinôme Ix H- my 4- nz — c, où x, y, z auraient les expres 
sions (18), à l dx H- ni dy -f- /1 dz = o, et signifie alors que les coor 
données x 4- dx, y + dy, z 4- dz, d un point quelconque de la surface 
obtenue voisin de {x, y, z), satisfont à (i4) sans qu’on ait besoin de 
faire varier /, m, n, ou que le plan (14) contient toutes les cordes infi 
niment petites menées en (x, y, z) à la surface, et en est bien le plan 
tangent. 
Cherchons, comme premier exemple, l'enveloppe des plans situés à 
une distance égale c de l’origine. Alors l, m, n sont, dans (i4), les 
trois cosinus directeurs de leur normale, et la relation ©(/, m, n) — o 
se réduit à l 2 4- m 2 4- n 2 — 1 — o. Les équations (18) deviennent sim 
plement x =. cl, y = cm, z — cn \ d’où résultent des valeurs de l,m, n 
qui, portées dans la condition reliant ces trois cosinus, donne, pour 
l’enveloppe, x--\- y 2 -yz 2 —c 2 = o, c’est-à-dire une sphère ( de rayon c 
décrite autour de l’origine, comme on pouvait le prévoir. 
Si, la distance des plans à l’origine n’étant plus c, la relation entre 
/, m et n prenait la forme un peu moins simple A l 2 4- B m 2 4- C n 2 — 1 
avec trois coefficients connus A, B, C, on trouverait x — cA.1, 
y — cBm, z — cCiii, et l’enveloppe serait la surface du second degré 
f! éél . - 2 - .2 
A ' B 1 G " ' 
Mais le plus bel exemple de cette théorie se trouve eu Physique, 
dans le problème de la double réfraction, à propos d’une surface à 
deux nappes d’ondes lumineuses dite surface de Fresnel, enveloppe 
d’une double famille d’ondes planes dont l’équation est 
l x 4- niy 4- n z = 1, 
c’est-à-dire (14) prise avec C — 1, la relation entre l, m et n (à trois 
constantes A, B, G) étant 
( 1 9 ) 
l- m 2 n 2 
1 — AS 1 — BS 1 — CS 
où S désigne, pour abréger, la somme L 2 m 2 n 2 . Appelons de 
môme Iv l’expression + ifrf) ’ f l ui > di ""- 
nuée du premier membre nul de (19), égale le produit par S de lu 
somme—— -+ 1- -— n et observons que les dé 
fi— AS) 2 (1 —BS) 2 (1 — CS) 2