LIGNES DE NIVEAU ET LIGNES DE PENTE D’UNE SURFACE. 22()* 
manière aussi générale qu’au lieu des intersections successives d’une 
famille de courbes planes : car on a reconnu (p. 209*) que deux sur 
faces en contact peuvent aussi bien, au point commun, présenter 
une double intersection que ne pas se couper du tout; d’où il suit 
que, très souvent, la surface, dite enveloppe, tangente à toutes celles 
d’une même famille, les croise (môme quand ce sont de simples 
plans) et, par conséquent, ne sert pas de limite à l’espace qu’elles 
occupent. 
180*. — Lignes de niveau et lignes de pente ; leur forme dans le voisinage 
d’un fond, d’un sommet, ou d’un col ordinaires. 
Dans l’étude qui vient d’être rappelée ( ! ), relative à la fonction de 
point z —f {x, y) exprimant l’ordonnée verticale s d’une surface, 
mais que nous concevions en même temps réalisée d’une manière ma 
térielle sur le plan horizontal des oc, y, nous avons encore appris à 
connaître les lignes de niveau f{x, y) = const. de la surface, égales 
et parallèles à leur projection horizontale, et ses lignes de plus grande 
pente, qui coupent celles de niveau à angle droit tant dans l’espace 
qu’en projection sur le plan des ocy, et qui, en chaque point, ont pour 
pente la pente même tangy de la surface; d’où dérive le nom de 
lignes de pente de la surface, qu’on leur donne aussi. 
Quand on se borne aux projections horizontales de ces diverses 
courbes, y y devient fonction de oc, et le coefficient angulaire y 1 , pour 
celle de niveau passant par un point quelconque (x, y) du plan des 
ocy, se déduit de l’équation f{x, y) — const. diiFérentiée, c’est-à-dire 
de p~\~rjy'—o : il vaut, en conséquence, — Par suite, le coeffi 
cient angulaire analogue, au même point {oc, y), pour la ligne de pente 
perpendiculaire, sera, comme on sait ( 2 ), l’inverse changé de 
signe, c’est-à-dire Les lignes de pente auront donc pour équation 
différentielle, entre oc, y, dx et dy, ou en projection sur le plan 
des xy, 
( 26) ~ = - , c’est-à-dire q dx —p dy — o. 
dx p 
On conçoit que celle équation, faisant connaître de proche en proche 
la direction prise par les lignes de plus grande pente, les détermine 
(’) Voir le numéro précédent, 179, au Fascicule I, p. 25g. 
( 3 ) Ou comme on le voit par la note de la p. 199, Fascicule I.