LEURS PROPRIETES ET LEUR ÉQUATION FINIE. 2 3 (J * 
forme très simplement, quand on donne l’expression z ~J\x, y) de 
l'ordonnée de la surface et, par suite, en x et j, les valeurs de ses 
dérivées partielles premières et secondes p, q, r, s, t. Il suffît d’ex 
primer l’une ou l’autre des deux principales propriétés caractéris 
tiques de celte ligne, savoir : i° que la pente p 2 q 1 de la surface 
ou, plus simplement, son carrép 2 -y q-, y devient maximum ou mini 
mum lorsqu’on chemine le long d’une ligne de niveau, c’est-à-dire que 
la somme p*+q 2 J a, d’après le principe de Fermât, sa dérivée nulle, 
cette dérivée étant supposée prise en faisant croître x de dx et y de 
— £■ dx\ 2° que deux éléments consécutifs d’une ligne de plus grande 
pente y allée lent en projection horizontale la même direction, ou le 
même coefficient angulaire y' — ^ ; autrement dit, que la dérivée y" 
de l’expression — s’y annule le long d’une ligne de pente, alors que, x 
croissant de dx, y croît de J dx. On aura donc respectivement, d’a 
près ces deux caractères, pour équation des lignes dont il s’agit, 
(35) 
La première (35), en difTérentiant successivement p-, puis q-, et 
multipliant par \q, donne 
/ dp 
dp \ 
( dq 
„ dq \ 
(? dx 
- p dy) 
4 
c 
c 
&1. 
P dy) 
ou bien, par l’introduction des dérivées secondes r, s, dérivées res 
pectives de p en x et y, et s, t, dérivées analogues de q, suivie d’une 
transposition de termes, 
pq (r t) — (p 2 q 1 ) 8 - 
( 3 7 ) 
Telle est l’équation cherchée de la ligne des déclivités maxima 
ou minlma. M. de Saint-Venant l’a obtenue de cette manière, 
en i852. 
Or il est aisé de voir qu elle revient à la seconde équation (35), ex 
pression de l’autre propriété fondamentale (dont j’ai justement re 
connu ainsi l’existence en 1871). Il suffit, pour cela, de permuter 
entre elles, dans (36), les deux dérivées de p en y et de q en x, 
égales l’une et l’autre à s. Alors les deux parenthèses de (06), chan-