DIX-NEUVIÈME LEÇON. 
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COURBURE DES SURFACES. 
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-186*. — Des formes qu’affecte, en général, une surface, aux environs 
d’un de ses points : paraboloïde de contact. 
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Toute surface dont la normale change graduellement de direction 
quand son pied s’y déplace dans le voisinage d’un point donné {x,y, z), 
présente autour de ce point certaines circonstances de forme, dépen 
dant de la rapidité avec laquelle, à partir du même point, la normale 
commence à tourner suivant les divers sens. Ces circonstances de 
forme, ainsi fonction des cosinus directeurs de la normale en {x, y, z) 
et de leurs dérivées premières en x et y ou, par suite, des dérivées 
tant premières que secondes 
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dz dz d 1 z d î z d 2 z 
P ~~ dx ’ ^ dy’ ' dx 2 ’ S dx dy ’ t dy 2 
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de l’ordonnée z — y) de la surface, constituent la courbure de 
celle-ci pour le point considéré. Elles expriment à fort peu près, sauf 
dans le cas où elles s'évanouissent par le fait de V annulation de r,s, t, 
les petits écarts de la surface d’avec son plan tangent aux environs du 
point de contact donné (x, y, z), et, par conséquent, différencient 
entre elles, quant à la forme, les diverses surfaces ou les diverses 
parties d’une même surface. 
Les quantitésp, q, r, s, t s’évaluant, quand la surface est définie 
par une équation implicite comme F(^r, y, z) = c, au moyen des dé 
rivées partielles des deux premiers ordres de F, on voit que les cir 
constances dont il s’agit, caractéristiques des diverses formes de sur 
face, dépendront de ces deux ordres de dérivées, comme nous avons 
vu déjà (p. 220*) qu’il arrivait aux points singuliers, où s’annulent 
les dérivées premières de F. 
Imaginons, afin de simplifier autant que possible la question, qu’on 
transporte l’origine au point donné (x, y, z), en prenant pour axes 
des x et des y deux tangentes rectangulaires delà surface et pour axe 
des z la normale, dirigée de telle manière que la coupe de la surface