COURBURE DES SURFACES I PARABOLOIDE DE CONTACT, 2^ }*’
par le plan des zx ait, près de 1 origine, des ordonnées z positives.
Les dérivées de s premières et secondes, p, q, r, s, t, qu’il y aura à
considérer, se rapporteront donc à l’origine, et, comme elles y seront
par hypothèse continues, la fonction z =f{x, y) pourra, dans le
voisinage, être développée par la formule de Taylor, suivant les puis
sances premières et secondes de x et/considérés comme de petits
accroissements h, k reçus à partir de cette origine par les deux coor
données indépendantes : le reste R 2 sera, en général (p. 187*), incom
parablement plus faible que les termes du second degré. D’ailleurs,
la valeur de z à l’origine étant nulle, ainsi que la pente \/p*-h cf, pat-
rapport au plan des xy, du plan tangent mené à cette origine, le
terme constant et ceux du premier degré px, qy disparaissent.
Il vient donc simplement, en réduisant la valeur de 5 à ses termes de
l'ordre de petitesse en x et y le moins élevé, qui est ici le deuxième,
c’est-à-dire en négligeant R 2 ,
(1) z — è ( r.r 2 2 sxy-\- ty-).
Or cette équation est celle d’un paraboloïde ayant pour axe principal
l’axe des z. On l’appelle le paraboloïde de contact; et il a, en effet,
avec la surface proposée, un contact généralement du second ordre,
puisque la différence existant entre leurs ordonnées 5 correspon
dantes est précisément le reste R 2 , d’un ordre de petitesse en x et y*
plus élevé que le second. Ainsi, toute surface à pentes bien continues
ressemble, aux environs d’un quelconque de ses points, à un cer
tain paraboloïde, décrit autour de la normale en ce point comme
axe, et dont les écarts d’avec la surface sont } dans le voisinage,
d’un ordre de petitesse supérieur au deuxième. Tout paraboloïde
décrit à partir de l’origine autour de l’axe des z comme axe principal
avant d’ailleurs son équation de la forme (1), où r, s, t désigneraient
trois coefficients quelconques, on voit que ses écarts d’avec le para
boloïde (1) et, par conséquent, d’avec la surface, aux environs de
l’origine, seront de l’ordre des carrés ou produits de x et de y, pour
peu que ces coefficients y différent de ce qu’ils sont dans (r). Donc le
paraboloïde de contact, pour un point donné, se trouve bien unique
et indépendant, par exemple, des x et des y choisis.
11 est évident, de plus, que, si l’on décrit simultanément, à partir
du point donné, une quelconque des lignes de la surface qui s’y croi
sent et celle du paraboloïde qui a même projection sur le plan des xy,
les trois coordonnées courantes x, y, z de ces deux lignes seront des
fonctions du temps t identiques pour les deux premières x, y et ne
différant, pour la troisième 2, que par la quantité R,. Les deux lignes
