ET SECTIONS PRINCIPALES. 
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principaux de la surface pour le point considéré; les courbes sui 
vant lesquelles ils coupent la surface s appellent les deux sections 
principales relatives à ce point, et l’on peut, de même, qualifier de 
principales leurs tangentes, prises ici pour axes des x et des y. 
188*. — Propriété caractéristique des sections principales; ombilics. 
Les deux sections principales OA, OB d’une surface OAB, pour un 
point quelconque O, jouissent, en ce point, d’une propriété impor 
tante, à l'exclusion des lignes de la surface qui s’y croiseraient suivant 
d'autres sens. Elle consiste en ce que deux nor 
males consécutives menées à la surface, l’une, Fig. 32 - 
au point considéré O, Vautre, à l’extrémité 
d’un arc infiniment petit OA ou OB des sections 
principales, peuvent être censées se couper, c’est- 
à-dire passent à une distance l’une de l’autre 
infiniment plus faible que n’est l’écart OA ou 
OB de leurs pieds. 
En effet, dans le paraboloïde, où il y a symétrie 
complète de la surface par rapport aux plans z Ox 
et zOy, les normales qui ont leurs pieds sur l’un 
d’eux, ne pouvant en sortir d’un côté plutôt que 
de l’autre, s’y trouvent tout entières contenues 
et, par conséquent, vont y joindre plus ou moins 
loin la première normale O-s, tandis que la dissy 
métrie existant par rapport à tout autre plan 
mené suivant O-c fait pencher, hors de cet autre plan, les normales 
dont les pieds s’y trouvent situés, d’angles naturellement comparables 
aux changements mêmes de direction éprouvés par ces normales de 
puis la position O-, ou comparables encore, numériquement, au che 
min parcouru à partir de O. 
On le voit nettement en faisant passer, par le point (x, y, z) du 
paraboloïde où l’on mène la seconde normale, l’ellipse ou hyperbole, 
contenue dans cette surface et parallèle aux xy, qui a pour équation 
rx 2 -\- ty 2 — const. La normale au paraboloïde en (x, y, z), étant 
perpendiculaire à cette courbe, sera contenue dans son plan normal, 
parallèle à O-j et qui se projette sur le plan de la courbe suivant la 
propre normale de celle-ci; en sorte que la distance minima, à O^j, de 
la normale menée en (x, y, z) au paraboloïde, distance évidemment 
identique à celle de Oz au plan normal dont il s’agit, se trouvera 
mesurée, sur le plan môme de la courbe rx 2 -t- ty 2 — const., par la