oÓO* COURBURES PRINC., C. MOYENNE ET C. PERMAN., EN UN POINT D’UNE SURF.
Jieu pour R' dans la fig. 33 (p. 249*), où le second centre principal
de courbure, C', se trouve, non plus du même côté de la normale
que le premier centre G, mais du côté opposé.
D’après cela, un rayon principal de courbure est positif, quand la
section correspondante, OA par exemple, tourne sa concavité du côté
des z positifs; et il est négatif quand la section correspondante
tourne, au contraire, sa concavité vers les z négatifs, comme il arrive
pour OB'.
On étendra naturellement la même convention ¿1 toutes les sections
normales, ou coupes de la surface par les divers plans menés suivant
O z, parfois aussi à toutes les courbes de la surface se croisant en un
point considéré et dont les rayons de courbure respectifs, dirigés de
ce point vers les centres correspondants, feront avec l’axe des z des
angles aigus ou obtus quelconques : le signe positif ou négatif des
cosinus de ces angles sera celui des rayons de courbure et de leurs
inverses ou courbures.
Enfin ces inverses, p » pour les deux rayons principaux, pris
avec leurs signes, sont appelés les deux courbures principales de la
surface au point considéré. Leur moyenne arithmétique, -
égale, d’après le théorème d’Euler (p. 78*), la demi-somme des
courbures de deux sections normales rectangulaires quelconques faites
au même point O, et représente, par suite, la moyenne générale des
courbures de toutes les sections pareilles : elle est donc, comme on a
vu (p. 76*), la courbure moyenne de la surface au point O. Quant
à leur moyenne géométrique -—=.■> son carré p-jy; a été appelé simple
ment, par Gauss, la courbure de la surface au point considéré. La
première de ces deux quantités, - -+• a une très grande im
portance dans la théorie physique des phénomènes de capillarité pro
duits à la surface d’un liquide; car la différence des deux pressions
existant de part et d’autre de cette surface lui est proportionnelle. La
deuxième, p-p,, joue, de son côté, le rôle principal dans la théorie
des membranes infiniment minces que l’on déforme par simple flexion,
c’est-à-dire en les pliant et dépliant sans allonger ni raccourcir au
cune de leurs fibres ou aucune ligne matérielle tracée sur leurs
faces; car nous verrons dans la prochaine Leçon, et Gauss a, le pre
mier, démontré que cette quantité -p^p conserve, en chaque point dé