SURFACES A COURBURES DE MEME SENS 
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courbures correspondantes, pour être complètement renseigné sur la 
forme qu’elle affecte partout. Mais, auparavant, achevons d’étudier, 
au moyen de l’équation (3), les circonstances que peut présenter or 
dinairement cette forme aux environs du point quelconque choisi pour 
origine, et déduisons-en la courbure qu’y offrent les diverses lignes 
s’y croisant sur la surface. 
191*. — Surfaces à courbures de même sens et surfaces à courbures 
opposées : indicatrice. 
Dans cette question de la forme qu’affecte une surface aux environs 
d’un point, deux cas généraux peuvent se présenter, suivant que les 
deux rayons de courbure principaux R, R' sont de même signe, ou 
suivant qu’ils se trouvent, l’un positif, et, l’autre, négatif. 
Supposons-les d’abord de même signe et, par conséquent, tous 
les deux positifs, puisque le choix convenu du sens des z positifs 
nous donne R > o. Alors les sections principales OA, OB (p. 247*) 
sont toutes les deux, par rapport au plan tangent xOy, situées du 
côté de Os; et la surface est dite ci courbures de même 
sens. D’ajn'ès (3), z étant essentiellement positif, ou nul seulement 
pour x ■=. o et y — o, la surface n’a de commun avec son plan tan 
gent xOy que le point de contact, du moins dans le voisinage de 
celui-ci; et l’on dit qu’elle s’y trouve toute concave d’un côté, qui 
est ici celui des .s positifs, èt toute convexe de l’autre. 
Comme le paraboloïde de contact est elliptique, les sections faites 
dans la surface par des plans s: = const., parallèles au plan tangent 
en O et très voisins de ce plan, sont sensiblement les ellipses ayant 
pour équation 
(4) -r; 1- jry — la const. 2Z, 
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ellipses semblables, pareillement orientées et de grandeur croissante 
avec la distance z de leurs plans au point O. Quant aux courbes tra 
cées sur la surface à partir du point considéré O, et dont la tangente 
en O est, par conséquent, sur le plan xOy, il est clair qu’elles sont 
toutes concaves, par rapport à Os, du même côté que la surface. 
Nous évaluerons bientôt leur courbure. 
Passons maintenant au second cas (auquel répond la figure de la 
p. 249*), où, R' étant négatif, les centres G et G' de courbure des 
deux sections principales OA, OB' sont, sur la normale Oz, départ et 
d’autre du point O. Alors l’une de ces sections, OA, tourne sa con-