I0 * COSINUS ET sinus d’une somme : 
sinus en nombre impair compose justement le sinus de la somme des 
arcs considérés et se comporterait, par conséquent, comme un sinus, 
si l’on introduisait un arc de plus, tandis que l’ensemble des termes 
où les facteurs sinus sont en nombre pair compose le cosinus de la 
même somme et se comporterait désormais comme un simple facteur 
algébrique. 
Il ne reste plus, pour pouvoir indiquer à la manière d’une multipli 
cation, tout en l’en distinguant, cette sorte d’opération de combinai 
son propre à former les expressions du cosinus et du sinus d’une 
somme, qu’à marquer, à l’aide d’un caractère spécial, les facteurs aux 
quels on attribue la tendance à faire changer de signe les termes qui 
les contiennent. Or ce caractère devra équivaloir à un changement de 
signe, ou au facteur —i, pour chaque couple de fois qu’il paraîtra 
dans un terme; et, comme il affectera de la tendance en question le 
terme tout entier, quel que soit le facteur qui l’introduise, ou pourra 
le séparer de celui-ci pour le placer ailleurs dans le terme, c’est-à-dire 
l’assimiler lui-même à un facteur. Donc, sa répétition ou ce qu’on peut 
appeler son carré donnant d’ailleurs —i, on devra, vu son analogie 
évidente avec une racine carrée, mais sans avoir, bien entendu, à lui 
en attribuer la signification, l’écrire lui-même \J—i. Ainsi, le signe 
qu’on cherche pour en affecter ici les sinus n’est autre que le symbole, 
dit imaginaire, —i, introduit déjà, dans l’étude des équations du 
second degré de la forme [x— a) 2 = — ¡3 2 , par un désir analogue de 
modifier le sens de la multiplication de manière à n’en faire, au besoin, 
qu’un mode de combinaison où une quantité négative -—■ p 2 puisse être 
censée le produit de deux quantités égales. Ce symbole y— i aura le 
double avantage : i° d’indiquer clairement le changement de signe à 
effectuer pour chaque couple de fois qu’il se trouvera dans un terme 
du résultat définitif ; 2° de subsister encore une fois dans les termes 
qui l’auront contenu en nombre impair, après qu’on l’en aura sup 
primé autant que possible en effectuant les changements de signe 
qu’impliquait sa répétition, et, par conséquent, de maintenir l’en 
semble de ces termes, où il restera comme facteur commun, et 
qu’on appelle, pour abréger, la partie imaginaire du résultat, es 
sentiellement distinct de l’ensemble des autres termes, d’où y — i 
aura complètement disparu et qu’on appelle la partie réelle du résul 
tat. Ainsi la formule obtenue, purement symbolique en elle-même, 
c’est-à-dire n’exprimant aucun résultat quantitatif saisissable, mais 
seulement une certaine manière de combiner des caractères ou des 
signes, se dédoublera finalement en deux formules qui, elles, auront