ET SURFACES A COURBURES OPPOSÉES. 
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cavité du côté des z positifs, tandis que l’autre, OB', présente la 
sienne du côté des s négatifs. La surface est dite, pour cette raison, 
à courbures opposées. elle a, dans le voisinage du point O, une partie, 
contiguë au plan des zx, qui est, par rapport au plan tangent xOy, 
du cote des positifs, et qu on peut appeler la partie concave vers 
les s positifs; le reste, contigu au plan des zy, se trouve compris de 
l’autre côté du plan tangent et constitue la partie convexe vers les z 
positifs. 
Ces deux parties ont pour limite commune l’intersection même de 
la surface par son plan tangent z = o, intersection qu’on obtient en 
posant z — o dans l’équation (3) du paraboloïde de contact accrue, à 
son second membre, du terme complémentaire 2R 2 , d’un ordre de pe 
titesse en x et / supérieur au deuxième. Il vient ainsi, sensiblement, 
(5) 
x z 
TT 
7* 
(-*') 
y 
(— R') 
R 
relation qui représente deux droites passant parle point O et également 
inclinées de part et d’autre de Oj, ou dont les quatre angles ont pour 
bissectrices les tangentes Ox, O y aux deux sections principales. 
Donc, la surface est coupée par son plan tangent suivant deux 
courbes, qui ont pour tangentes, au point de contact O, les deux 
droites {o), également inclinées de part et d’autre des tangentes 
principales Ox, O y : ces deux courbes divisent la surface, autour 
du point considéré O, en quatre régions alternativement concaves 
et convexes vers les z positifs. 
Le paraboloïde de contact, 2; = ^ 
7 2 
(-R')’ 
est hyperbolique et 
a la forme d’un col ou du dessus d’une selle de cheval. Les sections 
planes faites dans la surface, soit du côté des 5 positifs, soit du côté 
des s négatifs, parallèlement au plan tangent xOy, et à une très 
petite distance ±z de ce plan, sont, près du point O, les hyperboles 
(6) 
x- 
K 
y 2 
(-R') 
= la const. 2- positive ou négative. 
Ces courbes ont toutes, en projection sur le plan tangent ocüy, les 
mêmes asymptotes, que représente précisément l’équation (5), ou 
auxquelles les hyperboles (6) se réduisent quand z s’annule. Aussi, 
les deux droites (5), orientées suivant les intersections de la surface 
par son plan langent, définissent-elles, à partir du point de contact 
considéré O, ce qu’on appelle les deux directions asymptotiques 
relatives à ce noint.