COURBURE DES SURFACES : INDICATRICE. 
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Des courbes quelconques tracées sur la surface et émanant du point O 
tourneront évidemment leur concavité du même côté de l’axe des z 
que la partie de la surface où on les mènera. 
Que la surface soit à courbures de même sens ou à courbures op 
posées, on appelle indicatrice la courbe de dimensions finies obtenue, 
sur le plan tangent xOy, en prenant égale à 1 la valeur absolue de la 
constante 2z dans les équations (4) ou (6) des sections infiniment 
petites parallèles au plan tangent. Cette courbe indique en effet la 
forme des sections dont il s’agit et, par suite, celle de la surface. On 
voit qu’elle a pour équation, en appelant X, Y ses coordonnées cou 
rantes, 
Y* . 
(7) Ü + 1U =± '- 
Eli e se réduit donc à une simple ellipse quand les deux courbures 
principales sont de même sens, parce qu’il ne correspond alors aucun 
point (X, Y) réel à la valeur —1 du second membre. Mais elle se 
compose de deux hyperboles conjuguées, ayant leurs asymptotes sui 
vant les directions asymptotiques de la surface, quand les courbures 
sont opposées, vu que l’hyperbole obtenue en prenant -+- 1 comme se 
cond membre exprime la forme des sections faites du côté du plan 
tangent où les z sont positifs et que l’autre hyperbole, avant —1 au 
second membre, représente de même les sections faites du côté des 5 
négatifs. 
192*. — Courbure des lignes tracées sur une surface : théorèmes 
d’Euler et de Meusnier. 
Occupons-nous enfin de la courbure que présente, au point O, une 
ligne quelconque OM tracée, en passant par ce point, sur la surface, 
ou, avec la même projection en xO y, sur le paraboloïde (3) [p. a51 *] ; 
ce qui, comme on a vu (p, 246*), lui laisse en O sa tangente OT, sa 
normale principale Oc, et, sur celle-ci, son centre c, de courbure. La 
tangente en question OT sera définie par l’angle a qu’elle fera avec 
la tangente principale Ox; et, dans le plan zOc l perpendiculaire à 
OT, la normale principale Oc, sera elle-même définie par son angle Y 
avec la normale Os à la surface. 
Gela posé, si l’on mène du point M(îc, y, z) de la courbe la per 
pendiculaire MP sur sa tangente OT, et la projection M'P de cette 
perpendiculaire sur une parallèle aux z, l’angle M'PM ne différera 
qu’infîniment peu de Y, ou de l’angle formé par PM' avec la projec 
tion de PM sur le plan oscillateur TOc,; car l’écart MP de la courbe