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COURBURE DES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE : 
jj d’une courbe plane ayant, en O, un contact de second ordre avec 
OM, 
(9) ri=- c 
Jt v • 
La dérivée première de y t en x x se trouve donc nulle à l’origine O, 
et il résulte de la valeur constante de sa dérivée seconde, en appelant 
pj le rayon de courbure Oc u que la courbure cherchée en ce point, 
exprimée par celte dérivée seconde, est 
(10) 
Appelons p le rayon Oc de courbure de la section normale corres 
pondante, qui serait menée suivant zOT ou pour laquelle on aurait 
V— soit zéro, soit TT, suivant le signe positif ou négatif de la paren 
thèse de (9). Alors cette formule, en y attribuant à p, puis à p,, le 
signe même de s ou de cosY, comme il a été convenu (p. 25o*), 
permettra d’abord de poser 
cos 2 a sin 2 oc 
R R' 
P 
et deviendra ensuite 
p! = p cosY, 
pourvu que l’on prenne cosY en valeur absolue ou qu’on appelle 
maintenant Y l’angle toujours aigu cOcq. 
Or les deux formules (11) et (12) comportent un sens géométrique 
très simple. 
Pour interpréter la première, menons le demi-diamètre OT de l’indi 
catrice EF tangent en O à la section normale considérée. Les coordon 
nées du point T seront X = (OT) cosa, Y = (OT) sina, et ces valeurs 
portées dans l’équation (7) de l’indicatrice conduiront à une valeur de 
l’inverse de OT 2 qui, comparée à celle, (11), de l’inverse de p, don 
nera p=± OT . Donc, le rayon de courbure de toute section nor 
male égale, en valeur absolue, le carré du demi-diamètre suivant 
lequel cette section coupe Vindicatrice. D'où il suit qu’il varie symé 
triquement de part et d’autre des sections principales; qu’il devient 
maximum ou minimum sur celles-ci; que, suivant les directions asym 
ptotiques, il est infini ou implique une courbure nulle des sections 
normales; etc. : circonstances remarquées en premier lieu par Euler. 
On en déduit aussi, vu la constance de la somme ou de la différence 
des carrés des inverses de deux demi-diamètres rectangulaires d’une