THÉORÈMES D’EULER ET DE MEUSNIER. ,,5 * 
ellipse ou d’une hyperbole, un autre théorème d’Euler, démontré 
plus haut (p. 78*). Il s’obtient, du reste, de suite, en observant que 
la formule (11), appliquée à la courbure, , de la section normale per 
pendiculaire à la proposée, ou pour laquelle a devient a + -, donne 
2 
(i3) 
sm 2 a 
cos 2 -j. 
~W~ 
et, par suite, en ajoutant (i3) à (11), 
(U) 
9' R + R' ‘ 
Quant à la formule (12), elle exprime que Oq ou p, est la projec 
tion de Oc ou p sous l’angle V, c’est-à-dire que la droite cc, est per 
pendiculaire à l’arête Oc, de l’angle dièdre droit cOc,T et, par suite, 
à la face c,OT de cet angle dièdre. Donc le centre c, de courbure, 
pour le point quelconque O de toute courbe OM située sur la sur 
face et tangente en ce point à une section normale donnée, est la 
projection, sur son plan oscillateur c,OT, du centre c de courbure 
de cette section normale. Autrement dit, si l’on conçoit la sphère dé 
crite autour du centre c de la section normale et tangente en O à la 
surface, son intersection par le plan osculateur de la courbe donnée 
sera le cercle même de courbure de cette courbe, vu que ce cercle 
aura évidemment pour centre la projection c, du centre c de la sphère. 
Tel est, sous diverses formes, le théorème, dû au géomètre français 
Meusnier, qui permet d’obtenir la courbure d’une ligne quelconque 
d une surface, sauf parfois dans le cas, restant à examiner, où l’angle 
V est droit, c’est-à-dire où la courbe proposée a précisément pour plan 
osculateur en O le plan tangent à la surface. 
Jetons enfin un coup d’œil sur ce cas exceptionnel. Si l’on remet, 
au lieu de V, dans le troisième membre de (8), l’angle M'PM, dont 
le cosinus tendra vers ±cos Y ou zéro, ce troisième membre sera encore 
la partie principale de l’écart PM de la courbe OM considérée d’avec 
sa tangente OT, pourvu que le facteur binôme entre parenthèses n’y 
passe pas à un ordre de petitesse supérieur au second; et la présence 
du dénominateur cos M'PM y abaissera, au-dessous de ce second ordre 
en x et y, ou en x x , la valeur de PM ou celle de jq ; ce qui rendra 
infinie la courbure de OM en O. Or elle est aussi infinie quand le bi 
nôme entre parenthèses devient d’un ordre supérieur au second par le 
fait de l’annulation séparée de chacun de ses termes; car l’arc OM, 
alors réduit au point isolé O {x =■ o, y=- o), peut être censé y tourner 
infiniment vite sur lui-même. Et il est clair, d ailleurs, que la seule 
B. — I. Partie complémentaire. ‘7