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FORMULE GÉNÉR. POUR LA COURE. DES LIGNES D’UNE SURF.
manière, à part la précédente, d’élever l'ordre de petitesse du même
binôme, consiste dans la neutralisation mutuelle de ses termes en x-
et r 2 , impliquant la tangence de OM, en O, à une des deux directions
asymptotiques, sur lesquelles p devient infini. Donc le rayon de cour
bure cherché p t s’annule, et la formule (12) de Meusnier, donnant
pj — p x o = 0, reste applicable (comme l’aurait fait inférer la raison
de continuité à partir des valeurs de cos Y voisines de zéro), pourvu
que la tangente OT ne'coïncide pas avec une direction asymptotique
en O : cas tout spécial où la limite cherchée du produit p cos V, affec
tant la forme indéterminée 00 x o, ne jieut être obtenue que par la
mise en compte des termes du troisième ordre de petitesse compris
daus R 2 . C’est ce qui arrive, par exemple, pour la courbe d’intersection
de la surface j^ar son plan tangent, où la formule (5) nous a montré
que la suppression de R, réduit les deux valeurs de y à leur partie du
premier degré en x et fait ainsi substituer aux deux branches de celte
ligne leurs simples tangentes.
193*. — Formule générale de cette courbure.
La relation (10) se démontre encore par une voie analytique très
simple et sous une forme plus générale n’impliquant pas le choix de
la direction du plan tangent pour celle des xy. Si l’on conçoit que
l’arc de la courbe proposée soit la variable indépendante relative à
celte courbe, les trois cosinus directeurs de sa normale principale Ocj
égaleront respectivement, d’après les expressions {20) de la page 210*,
pjx" : pij", pid', tandis que ceux de la normale Oc à la surface sont,
vu les formules (24) de la page 208, • Donc le cosinus
v/> 2 + ^ 2 H- 1
de l’angle V de ces directions, somme des trois produits deux à deux
des précédents, vaudra
et l’on aura, par suite,
i _ r d' — px" — qy"
Pl COSY y/ | _j_ p 2 _j_ fj 2
Or, en observant que les trois fonctions x, y, z de l’arc vérifient con
stamment l’équation £ — /{&, y) — o de la surface, et que les déri
vées partielles des deux premiers ordres de /(¿c, y) sont p, q, r, s, t,
il est aisé d’éliminer de l’expression z" — px"—qy" les dérivées se
condes de x, y, z, pour substituer, à la place, les dérivées premières
x', y 1 , cosinus directeurs donnés des angles que fait avec les x et les y
la tangente à la courbe. Il vient, en effet, au moyen d’une pre-
