a6o* DIRECTIONS ET COURBURES PRINCIPALES, COURBURE MOYENNE
l'orientation de la seconde. Or les équations de la première de ces
deux normales sont (p. a58)
(17) Xi — — z) — o, yi — y1 z ) = 0 '-.
et l’on en déduit celles de la seconde en y faisant croître x, y, z, p, q
de leurs différentielles respectives le long de l’élément; ce qui donne
Xi — x — dx -h {p -H dp)(Zi — z — dz) = o,
ji —y — dy -4- {q -+- dq){Zi — z — dz) = o.
Devant prendre ensemble ces quatre équations (17), (18) après avoir,
au besoin, fait subir dans les deux dernières à dp et dq des altéra
tions du second ordre, et devant exprimer qu’un môme système de
valeurs de x x , y x , zj les vérifie, nous pouvons remplacer les dernières
(18) , censées modifiées comme il est dit, par leurs excédents respec
tifs sur les deux premières, (17). Il vient ainsi, à des infiniment petits
près du second ordre,
— dx —p dz -1- (zi— z) dp — o, — dy — q dz + {z y — z) dq — o,
ou, par la substitution à dy, dz, dp, dq de leurs valeurs ci-dessus,
suivie d’une division finale par dx et de la suppression des termes qui
disparaissent à la limite,
( — I — p{pqy'){Zi — z){r + sy') = o,
(19) <
( — y — qip^qy )-K*i — ~)0 + ty) = o.
On a donc bien les quatre équations (19) et (17) pour déterminer les
inconnues en même nombre/', z u x ly y t , dont la première définit la
direction principale demandée et dont les trois autres seront les coor
données du point limite de rencontre des deux normales, c’est-à-dire
du centre principal correspondant de courbure. Les deux dernières,
(19) , suffiront pour évaluer/' et la projection z x — z, sur l’axe des z,
du rayon principal de courbure cherché, que j’appellerai ici R, pro
jection d’où l’on déduira le rayon R lui-même en observant que,
dirigé suivant la normale, il fait avec les z positifs l’angle ayant pour
cosinus ■ 1 ——:■ Après que z x — z sera connu, on aura donc R
/1 +i> 2 -+- q 2
par la formule
(20) R = vA-+-/>*+y* ( Æ i — z),
si l’on convient, comme il a été fait plus haut (p. a5o*), d’attribuer à
Rie signe même de sa projection z x — z, c’est-à-dire de prendre le
rayon de courbure R positif ou négatif suivant qu’il est porté sur la
