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COURBURE DES SURFACES : OMBILICS ET SPHÈRES OSCULATRICES ; 
somme des deux racines, qui sont, avec nos notations, et le 
coefficient du troisième terme en est le produit. L’équation (28) re 
vient donc à prendre pour le double de la courbure moyenne et pour 
la courbure permanente de la surface, les expressions 
(1 -4- g~)r — 1 pgs 4- (1 -hp^)t 
i rt — s 2 
RR' (1 +/) 2 + ? 2 ) 2 
3 
(I + 
il est aisé de voir que la première de ces deux expressions, réduite 
de moitié, équivaut à celle, (87), de la page 77*, que nous avons 
trouvée au n° 61* en interprétant géométriquement les paramétres 
différentiels de certaines fonctions. Celle-ci, en effet, doublée, n’était 
autre que 
cl p d c] 
d x /1 -+- y? 2 -b cf- dy \JI -t- /Я -+- q 
et il aurait suffi d’j effectuer les deux différentiations en x et y indi 
quées, puis de réduire, pour avoir identiquement le second membre 
de la première (24). 
19o*. — Caractères analytiques et détermination des ombilics 
d’une surface. 
Nous avons лаг (p. 249*) qu’on appelle ombilics les points (x, y, z) 
d’une surface où le paraboloïde de contact est de révolution, et que 
ces points sont parfaitement caractérisés par l’existence d’une infinité 
de sections, en émanant, le long desquelles une normale à la surface, 
dans le voisinage de celle qui est menée par le point {x, y, z), va 
passer à une distance de celle-ci infiniment moindre que l’écart mu 
tuel de leurs pieds. Autrement dit, les racines de l’équation (21) y 
sont au nombre de plus de deux, et, par suite, le premier membre de 
cette équation du second degré s’y réduit à zéro, quel que soit y', ou 
y a ses trois coefficients nuis. Or l’annulation de ces trois coefficients 
revient à poser la double égalité 
qu’on peut écrire encore 
dp d q 
— о 
comme le montre le calcul développé, dans celles-ci, des deux dérivées